Локальная интерполяция

Кусочно-линейная интерполяция.

Одним из самых используемых и простейших видов локальной интерполяции, является кусочно-линейная интерполяция, при которой каждые две точки и табличной функции соединяются отрезками прямой (т.е. проводится полином первой степени)

(3.1)

А сама функция приближается к ломаной с вершинами в данных точках.

Рисунок 1

Коэффициенты уравнений прямых и разные на каждом интервале легко находятся из условий интерполяции на концах отрезка:

(3.2)
(3.3) (3.4)

Кусочно-линейная интерполяция является самой простой, и поэтому довольно часто применяется для расчета значений между узлами интерполяции. Для построения интерполирующей зависимости, используемой в дальнейших научных и инженерных расчетах, обычно используются более сложные методы интерполяции.

Интерполяция сплайнами

Иногда требуется обеспечить непрерывность не только интерполирующей функции, но и нужного количества её производных для этого прибегают к интерполяции сплайнами.

Сплайн – функция, область определения которой разбита на конечное число отрезков, на каждом из которых сплайн совпадает с алгебраическим многочленом. Максимальная степень из использованных полиномов называется степенью сплайна.

Преимущества интерполяции сплайнами по сравнению с обычными методами интерполяции – в сходимости и устойчивости вычислительного процесса. На практике наиболее часто используются кубические сплайны – сплайны третьей степени с непрерывной, по крайней мере, первой производной. При этом величина , называется наклоном сплайна в точке (узле) .

Разобьём отрезок [a, b] на N равных отрезков [ , ], где , i=0, 1, …, N-1.

Если в узлах , , заданы значения , которые принимает кубический сплайн, то на частичном отрезке [ , ] он принимает вид:

(3.3)

В самом деле, это легко проверить, рассчитав и в точках ,

Можно доказать, что если многочлен третьей степени, принимает в точках , значения , и имеет в этих точках производные, соответственно, , , то он совпадает с многочленом (3.3).

Таким образом, для того, чтобы задать кубический сплайн на отрезке, необходимо задать значения , i=0, 1…, N в N+1 в узле .