Определение булевой функции

Функциональные системы и их роль в дискретной математике

Теория функциональных систем занимается изучением функций, описывающих работу дискретных преобразователей. К важнейшим классам функций относятся булевы функции, функции -значной логики, автоматные и вычислимые функции. С каждым из этих классов связываются операции, позволяющие из одних функций данного класса строить другие функции этого же класса. Такими операциями являются операция суперпозиции, операция обратной связи, операция примитивной рекурсии и -операция. В результате имеем функциональные системы с операциями – некоторые классы алгебр.

Роль функциональных систем в дискретной математике можно сравнить с ролью математического анализа в непрерывной математике.

Определение булевой функции

Булевы функции составляют один из классов функциональных систем, на основе которых описывают работу дискретных преобразователей. К другим классам функциональных систем относятся функции -значной логики, автоматные функции и вычисляемые функции. С каждым из этих классов связывают операции, позволяющие из одних функций данного класса строить другие функции этого же класса. Такими операциями являются: операция суперпозиции, операция обратной связи, операция примитивной рекурсии и -операция. В результате получаем функциональные системы с операциями, то есть некоторые классы алгебр. Роль теории функциональных систем в дискретной математике можно сравнить с ролью математического анализа в непрерывной математике.

Булевой функцией переменных называют функцию , у которой все переменные и сама функция принимают только два значения. Эти функции называют также логическими функциями, функциями алгебры логики или переключательными функциями. Два возможных значения функции и ее аргументов обозначают по-разному: И (истина), Л (ложь); 0, 1; да, нет. В дальнейшем будем использовать 0 и 1.

Математическая логика, как самостоятельная область науки, сформировалась в середине XIX века, прежде всего благодаря работам ирландского математикам из г. Корке Джорджа Буля (отца писательницы Э.Л. Войнич, автора известного романа «Овод»). Первая работа Буля по логике – «Математический анализ логики» вышла в 1847 г. В 1854 г. вышел основной труд Буля – «Исследование законов мысли». Первые применения алгебры логики связаны с решением следующей задачи: выяснить, истинно или ложно сложное высказывание, если известна истинность или ложность составляющих высказываний.

Сложные высказывания образуются из исходных простых при помощи ограниченного набора логических операций (связок).

Будем обозначать простые высказывания буквами . Из них можно составить новые высказывания, например:

« и », обозначается ;

« или », обозначается ;

«не », обозначается ;

«если , то , обозначается .

Пусть буквами обозначены такие высказывания:

– «числовой ряд сходится»;

– «все члены ряда положительны»;

– «общий член ряда стремится к нулю».

Образуем некоторые составные высказывания:

– «если числовой ряд сходится, то его общий член стремится к нулю»;

– «члены ряда положительны и общий член ряда стремится к нулю;

– «если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится».

С помощью логических связок можно образовать довольно сложные высказывания, например, , относительно которых возникает вопрос их истинности или ложности. Таким образом, каждому высказыванию соответствует булева функция.

Дадим более строгое определение булевой функции. Обозначим через – булево множество, которое задает область значений функции. Областью определения функции является совокупность всех выборок , где , , то есть декартово произведение . Таким образом, булевой функцией от переменных называется отображение

. (1)

В 30-х годах XX века булеву алгебру стали использовать для анализа структуры релейных схем (советский ученый В.И. Шестаков и американский математик и инженер Клод Шеннон). С развитием вычислительной техники булеву алгебру стали применять в качестве математического аппарата для описания работы дискретных устройств переработки информации. Такое устройство можно представить в виде «черного ящика» с входами и выходами (рис. 1).

… …

В процессе работы такого устройства каждый вход и каждый выход может находиться в одном из двух состояний: высокий или низкий уровень напряжения, намагниченность той или иной полярности, одно из двух положений переключателя и т.д. Не вдаваясь в подробности конкретной реализации устройства, говорят, что на входы поступает комбинация нулей и единиц и устройство преобразует ее в некоторую комбинацию нулей и единиц на выходе. При помощи двоичных слов информация (буквы, цифры, знаки препинания, служебные знаки) кодируется и поступает на вход устройства, которое производит обработку и на выходе появляется двоичное слово, которое затем можно снова перевести в естественную форму. Каждый выход дискретного преобразователя представляет собой булеву функцию.