Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Введем обозначение , где – параметр, равный либо 0, либо 1. Очевидно, что Легко видеть, что 1 тогда и только тогда, когда . Теорема о разложении функций по переменным. Каждую функцию алгебры логики при любом () можно представить в следующей форме: , (1) где дизъюнкция берется по всевозможным наборам значений переменных . Это представление называется разложением функции по переменным . Доказательство. Рассмотрим произвольный набор значений переменных и покажем, что левая и правая части соотношения (1) принимают на нем одно и то же значение. Левая часть дает . Правая –
В качестве следствий из теоремы рассмотрим два специальных случая разложения. 1) Разложение по переменной: . Функции и называются компонентами разложения. Данное разложение полезно, когда какие-либо свойства устанавливаются по индукции. 2) Разложение по всем переменным: . При тождественно не равной 0 оно может быть преобразовано: . В результате окончательно получим . (2) Такое разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (совершенной д. н. ф.). Непосредственно к понятию совершенной д. н. ф. примыкает следующая теорема. Теорема. Каждая функция алгебры логики может быть представлена формулой в базисе . Доказательство.1) Пусть . Тогда, очевидно, . 2) Пусть тождественно не равна 0. Тогда ее можно представить формулой (2). Данная теорема носит конструктивный характер, так как она позволяет для каждой функции построить реализующую ее формулу в виде совершенной д. н. ф. Для этого в таблице истинности для каждой для функции отмечаем все строки , в которых . Для каждой такой строки образуем логическое произведение , а затем все полученные конъюнции соединим знаком дизъюнкции. Пример 3. Найти совершенную д. н. ф. для функции .
.
Совершенная д. н. ф. есть выражение типа П. Покажем, что при тождественно не равной 1 ее можно представить в виде . Запишем для двойственной функции (очевидно не равной тождественно 0) разложение в виде совершенной д. н. ф.: . Из принципа двойственности следует . Таким образом, получаем разложение, которое называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (совершенной к. н. ф.): . (3) Пример 4. Построить совершенную к. н. ф. для функции . Имеем .
|