Размещения

Понятие выборки

Набор элементов из множества называется выборкой объема из элементов или -выборкой. Выборка называется упорядоченной, если порядок следования элементов в ней задан. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком следования элементов, считаются различными. Если порядок следования элементов не является существенным, то выборка называется неупорядоченной. В выборках могут допускаться или не допускаться повторения элементов. В зависимости от способа формирования все выборки в комбинаторике классифицируют как размещения, перестановки и сочетания с повторениями и без повторений элементов.

Размещения

-размещением с повторениями из элементов называется упорядоченная -выборка, в которой элементы могут повторяться. Число всех таких выборок, которые отличаются друг от друга составом элементов или их порядком, равно числу векторов в декартовом произведении . Это число обозначают (от французского слова arrangement – размещение). По правилу произведения получаем

. (1)

Пример 1. Для запирания сейфа используется диск, на который нанесены 12 символов, а секретное слово состоит из 5 символов. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова?

Общее число комбинаций равно . Значит, неудачных попыток может быть 248831.

-размещением без повторений из элементов называется упорядоченная -выборка, в которой элементы не повторяются. Число всех упорядоченных -множеств с различными элементами, которые можно составить из элементов -множества , обозначают .

Для вычисления необходимо сделать выборов. 1-й элемент можно выбрать способами, 2-й – () способами и т. д. Последний -й элемент можно выбрать способами. По правилу произведения

. (2)

Здесь – « -факториал» (0! =1! =1).

Пример 2. Научное общество состоит из 25 человек. Надо выбрать президента общества, вице-президента, ученого секретаря и казначея. Сколькими способами может быть сделан этот выбор, если каждый член общества может занимать лишь один пост?

Ответ: .