Сформулируйте достаточные условия экстремума.

Пусть - стационарная точка, тогда:

1) если

,

то - максимум функции ;

2) если

,

то - минимум функции .

Эти условия эквивалентны следующим.

Пусть и

тогда

1) если , то функция имеет экстремум в точке : минимум при (или ), максимум при (или );

2) если , то экстремума в точке нет.

9. Что такое условный экстремум? Опишите метод неопределённых множителей Лагранжа.

Если необходимо найти экстремум функции нескольких переменных, которые связаны между собой одним или несколькими уравнениями (число уравнений должно быть меньше числа переменных), то говорят об условном экстремуме.

При решении задачи можно пользоваться методом неопределённых множителей Лагранжа.

Чтобы найти условный экстремум функции при наличии уравнения связи , составляют функцию Лагранжа

,

где - неопределённый постоянный множитель, и ищут её экстремум.

Необходимые условия экстремума функции выражаются системой трёх уравнений

С тремя неизвестными .

Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании исследования знака второго дифференциала функции Лагранжа

Для испытуемой системы значений , полученной из системы при условии, что и связаны уравнением

.

Функция имеет условный максимум, если , и условный минимум, если .