Задание 1 в. Простейшие движения твердого тела

Механизм состоит из ступенчатых колес 1-3, находящихся в зацеплении и связанных ременной передачей, грузов 4 и 5 и стрелки 6, жестко связанной с соответствующим колесом. Радиусы ступеней колес соответственно: у колеса 1 – r₁ = 6 см, R₁ = 8 см; у колеса 2 – r₂ = 8 см, R₂ = 12 см; у колеса 3 – r₃ = 16 см, R₃ = 18 см; длина стрелки l = 24 см. Схема механизмов приведена в рисунке 1.7.

В столбце «Дано» таблицы 1.2 указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена, где φ ₁(t) – закон вращения колеса 1; s₄(t) – закон движения груза 4; ω ₂(t) – закон изменения угловой скорости колеса 2; υ ₅(t) – закон изменения скорости груза 5; (φ – в радианах, s – в см, t – в с). Положительное направление для φ и ω против хода часовой стрелки, для s₄, s₅ и υ ₄, υ ₅ – вниз.

Определить в момент времени t₁ = 2 с указанные в столбцах «найти» скорости и ускорения соответствующих точек и поступательно движущихся тел, а также угловые скорости и ускорения вращающихся тел.

Таблица 1.2

3 2 Д

1

1

6 66

υ _B

a₄

1.Определение угловых скоростей колес.

ω ₃r₃ = ω ₂r₂,

ω ₂ = ω ₃r₃ = (8t – 3t²) ∙ 16 = 4∙ (8t – 3t²).

R₂ 12 12

ω ₃R₃ = ω ₁r₁,

ω ₁ = ω ₃R₃ = (8t – 3t²) ∙ 18 = 3(8t – 3t²).

r₁ 6

Направления угловых скоростей всех тел показаны на рис 1.7.

2. Определение углового ускорения 2-го тела ε _{2 .}

ε ₂ = ω ₂ = 4 (8 - 6t), при t₁ = 2с, ε ₂ = 4 (8 – 6 ∙ 2) = - 5.33 с^-2.

3 3

Модуль ε ₂ = 5.33 с^-2.

3. Определение скорости точки B.

υ _В = ω ₂r₂ = 4∙ (8t – 3t²) ∙ 8 = 32(8t – 3t²), при t₁ = 2с, υ _В = 32(8∙ 2 – 3∙ 2²)

3 3 3

=42.67см/c.

4. Определение скорости тела 4.

υ ₄ = ω ₁R₁ = 3(8t – 3t²) ∙ 8 = 24 (8t – 3t²), при t₁ = 2с, υ ₄ = 24(8∙ 2 - 3∙ 2²) = 96см/с.

5. Определение скорости точки D.

υ _D = ω ₂ ∙ l = 4∙ (8t – 3t²) ∙ 24 = 32 ( 8∙ 2 - 3∙ 2²) = 128см/с.

6. Определение ускорения точки D.

При t₁ = 2с, ω ₂ = 4∙ ( 8∙ 2 - 3∙ 2²) = 5.33с^-1.

Ускорение точки a_D = a_Dn + a_Dτ

причем a_Dn = ω ₂² ∙ l, a_Dτ = ε ₂ ∙ l, при t₁ = 2с,

a_Dn =5.33² ∙ 24 = 681.81см/с², a_Dτ = 5.33∙ 24 = 128см/с,

a_D = √ a²_Dn + a²_Dτ = √ 681.81² + 128²= 693.72см/c².

7. Определение ускорения тела 4.

a₄ = а_4τ = υ ₄ = 24(8 – 6t), при t₁ = 2с

a₄ =24(8 - 6∙ 2)= - 96см/с², модуль a₄ = 96см/c²,

а_4τ = 0, ρ = ∞

a₄ = ε ₁ R₁, = 3(8 – 6t) = 3(8 - 6∙ 2) = - 12c^-2,

a₄ = 12 ∙ 8 = 96см/с².

Ответ: υ _В = 42.67см/с, υ ₄ = 96см/c, υ _D = 128см/с, ε ₂ = 5.33см/с^-2,

a_D =693.72см/c², a₄ =96см/c².