Линейная зависимость строк.

Понятие ранга матрицы связано с понятием линейной зависимости (независимости) строк (столбцов) матрицы. Рассмотрим это понятие для строк. Для столбцов – аналогично.

Обозначим стоки матрицы А:

е₁=(а₁₁, а₁₂, …, а_1n); е₂=(а₂₁, а₂₂, …, а_2n); …, е_m=(а_m1, а_m2, …, а_mn)

e_k=e_s если a_kj=a_sj, j=1, 2, …, n

Арифметические операции над строками матрицы (сложение, умножение на число) вводятся как операции, проводимые поэлементно: λ е_k=(λ а_k1, λ а_k2, …, λ а_kn);

e_k+е_s=[(а_k1+a_s1), (a_k2+a_s2), …, (а_kn+a_sn)].

Строка е называется линейной комбинацией строк е₁, е₂, …, е_k, если она равна сумме произведений этих строк на произвольные действительные числа:

е=λ ₁е₁+λ ₂е₂+…+λ _kе_k

Строки е₁, е₂, …, е_m называются линейно зависимыми, если существуют действительные числа λ ₁, λ ₂, …, λ _m, не все равные нулю, что линейная комбинация этих строк равна нулевой строке: λ ₁е₁+λ ₂е₂+…+λ _mе_m= 0, где 0 =(0, 0, …, 0) (1)

Если линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все коэффициенты λ _i равны нулю (λ ₁=λ ₂=…=λ _m=0), то строки е₁, е₂, …, е_m называются линейно независимыми.

Теорема 1. Для того, чтобы строки е₁, е₂, …, е_m были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк была линейной комбинацией остальных строк.

Доказательство. Необходимость. Пусть строки е₁, е₂, …, е_m линейно зависимы. Пусть, для определенности в (1) λ _m≠ 0, тогда

или

Т.о. строка е_m является линейной комбинацией остальных строк. Ч.т.д.

Достаточность. Пусть одна из строк, например е_m, является линейной комбинацией остальных строк. Тогда найдутся числа такие, что выполняется равенство , которое можно переписать в виде ,

где хотя бы 1 из коэффициентов, (-1), не равен нулю. Т.е. строки линейно зависимы. Ч.т.д.

Определение. Минором k-го порядка матрицы А размера mxn называется определитель k-го порядка с элементами, лежащими на пересечении любых k строк и любых k столбцов матрицы А. (k≤ min(m, n)). .

Пример. , миноры 1-го порядка: = , = ;

миноры 2-го порядка: , 3-го порядка

У матрицы 3-го порядка 9 миноров 1-го порядка, 9 миноров 2-го порядка и 1 минор 3-го порядка (определитель этой матрицы).

Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначение - rg A или r(A).

Свойства ранга матрицы.

1) ранг матрицы A_nxm не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.

r(A)≤ min(m, n).

2) r(A)=0 когда все элементы матрицы равны 0, т.е. А=0.

3) Для квадратной матрицы А n –го порядка r(A)=n , когда А невырожденная.

(Ранг диагональной матрицы равен количеству ее ненулевых диагональных элементов).

4) Если ранг матрицы равен r, то матрица имеет хотя бы один минор порядка r, не равный нулю, а все миноры больших порядков равны нулю.

Для рангов матрицы справедливы следующие соотношения:

1) r(A^T)=r(A)

2) r(A+B)≤ r(A)+r(B); 3) r(AB)≤ min{r(A), r(B)};

3) r(A+B)≥ │ r(A)-r(B)│; 4) r(A^TA)=r(A);

5) r(AB)=r(A), если В - квадратная невырожденная матрица.

6) r(AB)≥ r(A)+r(B)-n, где n-число столбцов матрицы А или строк матрицы В.

Определение. Ненулевой минор порядка r(A) называется базисным минором. (У матрицы А может быть несколько базисных миноров). Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются соответственно базисными строками и базисными столбцами.