IV. Приближенные методы решения нелинейных уравнений

Пусть дано уравнение , где функция определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале .

Всякое значение , при котором , называется корнем уравнения .

Будем предполагать, что уравнение имеет лишь изолированные корни, т. е. для каждого корня уравнения существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения.

Приближенное нахождение изолированных действительных корней уравнения обычно складывается из двух этапов:

1. отделение корней, т. е. установление малых промежутков , в которых содержится один и только один корень уравнения .

2. вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью .

Для отделения корней будет полезно следующее утверждение: если - непрерывная, строго монотонная функция и , то на отрезке существует корень уравнения .

Укажем следующие три способа отделения корня для случая :

1) Составляется таблица значений функции на промежутке изменения аргумента , и если окажется, что для соседних значений аргументов значения функции имеют разные знаки, то корень уравнения находится между ними.

2) Строится график функции на промежутке изменения аргумента ; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях точек пересечения графика с осью .

3) Уравнение заменяется равносильным: . Строятся графики функций и ; тогда искомые корни находятся в некоторых окрестностях проекций на ось точек пересечения этих графиков.

Рассмотрим наиболее распространенные методы вычисления корней.