Практична робота №2.

Тема: Функция распределения вероятностей, плотность распределения вероятностей.

Универсальной характеристикой, одинаково пригодной как для дискретных, так и для непрерывных одномерных случайных величин, является функция распределения вероятностей , определяющая вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше некоторого числа :

(1)

Функцию распределения иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1.

2.

3. — неубывающая функция, т. е. при

4. = (2)

Функция распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую функцию со скачками в точках (рис. 1, а), функция распределения непрерывной случайной величины — непрерывную функцию (рис. 1, б) и функция распределения смешанной случайной величины— кусочно-непрерывную функцию с не более чем счетным числом скачков (рис. 1, в).

Рис. 1. Функция распределения дискретной (о), непрерывной (б) и смешанной (в) случайных величин

В прикладных задачах предполагают, что функции распределения непрерывных случайных величин дифференцируемы во всей области возможных значений случайных величин. При таком предположении непрерывная случайная величина X чаще всего описывается плотностью распределения вероятности , которая иногда называется дифференциальным законом распределения или дифференциальной функцией распределения. Плотность вероятности определяется как производная функции распределения:

(3)

Плотность вероятности обладает следующими основными свойствами:

1. Плотность вероятности неотрицательна, т. е.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал равна интегралу от плотности вероятности в этих пределах:.

(4)

3. Интеграл в бесконечных пределах от функции равен единице (условие нормировки):

(5)

Очень важное практическое значение имеет гауссовская (нормальная) плотность вероятности , которая имеет вид

(6)

или

(7)

где - математическое ожидание (среднее значение) случайной величины X, - дисперсия, - — среднее квадратическое (стандартное) отклонение, - — вероятное (срединное) отклонение X; = 0, 476936...

При гауссовском распределении вероятность попадания случайной величины X в заданный интервал

(8)

где

, (9)

— табулированный интеграл вероятности. приложении II.

Для дискретной случайной величины плотность вероятности

(10)

где — возможные значения случайной величины X, — вероятности возможных значений , —дельта-функция (импульсная функция, функция Дирака).

Дельта-функция обладает следующими свойствами:

при любом

, (11)

В табл. 2.1 приведен ряд законов распределения дискретной случайной величины и соответствующие им характеристические функции, а также графики законов распределения при различных значениях параметров распределений. Аналогичные данные по законам распределения непрерывных случайных величин представлены в табл. 2.2.

Пример 1. Функция распределения случайной величины X задана следующим графиком

Требуется: 1) найти аналитическое выражение для функции распределения; 2) построить график плотности вероятности ; 3) определить вероятность Р того, что величина X примет значение от 3, 5 до 4, 5.

3. По формуле 4 вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал равна интегралу от плотности вероятности в этих пределах:.

.

Пример 2. Случайная величина X удовлетворяет неравенству —1< X< 1, причем в интервале от —1 до +1 она распределена равномерно, а каждое из значений—1 и +1 принимает с вероятностью 1/4.

Необходимо: 1) найти и построить функцию распределения случайной величины X; 2) вычислить вероятность Р того, что случайная величина X попадет в интервал от —1/2 до +1/2.

Задание 1. 1. Построить график функции распределения самостоятельно.

2. Пункт 2 выполнить самостоятельно.