Тема:Числовые характеристики случайных величин.

Практична робота №3.

Во многих практических задачах трудно или даже невозможно полностью определить функцию распределения случайной величины. В таких случаях полное описание случайной величины при помощи закона распределения может быть заменено указанием отдельных параметров (числовых характеристик) этого распределения.

Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины X являются математическое ожидание и дисперсия .

Для дискретной случайной величины X математическое ожидание

(12)

Если X — непрерывная случайная величина с плотностью вероятности ,. то

(13)

Формулы для дисперсии соответственно имеют вид:

(14)

(15)

где — центрированная случайная величина, т. е. отклонение

случайной величины X от ее математического ожидания.

Математическое ожидание определяет абсциссу центра тяжести кривой распределения, а дисперсия — рассеивание (разброс) случайной величины относительно ее математического ожидания. Рассеивание случайной величины часто характеризуют средним квадратическим отклонением

(16)

Кроме математического ожидания, в качестве характеристик положения случайной величины применяются иногда медиана и мода. Медианой (иначе срединным или вероятным значением) называется такое значение случайной величины X, при котором

(17)

Для непрерывной случайной величины X медиана находится из условия

или

.

Для дискретных случайных величин медиана определяется неоднозначно и практически не употребляется.

Модой М (наивероятнейшим значением) называется такое значение случайной величины X, для которого в случае дискретного распределения вероятность Р(Х = М), а в случае непрерывного распределения плотность вероятности имеют наибольшее значение. Если максимум один, то распределение называется одномодальным (унимодальным), а если несколько — то многомодальным (полимодальным, мультимодальным).

Общими числовыми характеристиками случайной величины являются моменты и энтропия, которые представляют собой неслучайные величины (числа). Характерно, что моменты более низкого порядка несут в себе больше сведений о случайной величине, чем моменты более высокого порядка. Моментом k-то порядка случайной величины X относительно произвольной точки а называется математическое ожидание величины :

(19)

Момент, рассматриваемый относительно начала координат (а = 0), называется начальным, а относительно математического ожидания (а = )— центральным.

В табл. 2.3 приведены аналитические выражения различных моментов для дискретной и непрерывной случайных величин. Из приведенных данных видно, что математическое ожидание, определяемое формулами (12) и (13), представляет собой начальный момент первого порядка. Для любой случайной. величины центральный момент первого порядка равен нулю, а центральный момент второго порядка представляет собой дисперсию. Абсолютные моменты четных порядков совпадают с обычными моментами.

При решении практических задач наиболее часто используются начальный момент первого порядка (математическое ожидание), начальный момент второго порядка (средний квадрат случайной величины), центральный момент второго порядка (дисперсия), центральные моменты третьего и четвертого порядков, а также абсолютный центральный момент первого порядка, называемый средним арифметическим отклонением.

С центральным моментом третьего порядка связан коэффнциент асимметрии , характеризующий «скошенность» распределения, а с центральным моментом четвертого порядка — коэффициент эксцесса , показывающий «крутость» распределения вероятностей. Для симметричных относительно математического ожидания распределений все моменты нечетного порядка (если они существуют) равны нулю и асимметрия отсутствует. Эксцесс нормального распределения равен нулю. Если кривая плотности вероятности имеет более острую и высокую вершину по сравнению с нормальным распределением, то эксцесс положителен; если более низкую и пологую, — то отрицателен. Коэффициенты асимметрии и эксцесса определяются соответственно формулами:

(20)

(21)

Во многих инженерных вероятностных расчетах, например при изучении прохождения случайных сигналов через линейные и нелинейные системы, часто требуется определить плотность вероятности случайной величины Y по известной плотности вероятности случайной величины X и известной функциональной связи случайных величин Y и X.

Если обратная функция однозначна, то правило преобразования плотностей вероятностей случайных величин определяется формулой

. (22)

Рис. Взаимно-однозначное функциональное преобразование;

а - прямая функция, б — обратная функция

Если обратная функция неоднозначна, например имеются две ветви обратной функции и , то плотность вероятности находится по формуле:

. (23)

Рис. Квадратичное (двухзначное) преобразование:

а —прямая функция, б — обратная функция

Если число ветвей обратной функции больше двух, то в правой части формулы (23) следует брать сумму по всем ветвям:

,

где — число ветвей (число неоднозначностей). Задача преобразования плотностей вероятностей рассматривается только для непрерывных случайных величин. Функциональное преобразование дискретной случайной величины не изменяет распределения вероятностей; оно изменяет только ее возможные значения.

Определение числовых характеристик случайной величины является частным случаем рассмотренной задачи. При этом их можно вычислить двумя способами: с помощью найденной по формулам (22), (23) плотности вероятности или путем усреднения . Второй путь экономичнее, так как не требует определения плотности вероятности функции . Например, формулы для математического ожидания и дисперсии случайной величины при этих способах соответственно имеют вид:

, (24)

, (25)

(13)

Для дискретной случайной величины числовые характеристики находятся

по формулам:

(26)

(27)

Пример 1.

Производится стрельба по подвижной цели до первого попадания. Вероятность р попадания при каждом выстреле равна 0, 4. На стрельбу отпущено 4 снаряда. Вычислить: 1) математическое ожидание случайной величины X — числа израсходованных снарядов; 2) дисперсию и среднее квадратическое значение величины X.

Решение. Случайная величина X может принять следующие значения: , , , . Вероятности принятия величиной этих значений соответственно равны:

, , , .

2. По определению математического ожидания, имеем:

.

2. Для дисперсии получим:

Пример 2.

Случайная величина Х подчинена равномерному закону в интервале от 0 до 2.

Определить математическое ожидание и дисперсию величины .

Решение. Случайная величина Х подчинена равномерному закону, поэтому плотность вероятности определяется следующим образом:

, т.е.

На основании формулы (25) имеем:

,