Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Вероятностный смысл математического ожидания
|
|
Пусть произведено n испытаний, в которых случная величина X приняла m1 раз значение x1, m2 раз значение x2,..., mk paз значение xk, причем 
. Тогда сумма всех значений, принятых X, равна
,
Найдем среднее арифметическое 
всех значений, принятых случайной величиной, для чего разделим найденную сумму на общее число испытаний:
,
или
. (*)
Заметив, что отношение m1/n – относительная частота W1 значения x1, m2/n – относительная частота W2 значения х2, и т. д., запишем соотношение (*) так:
. (**)
Допустим, что число испытаний достаточно велико. Тогда относительная частота приближенно равна вероятности появления события (это будет доказано в гл. IX, §6):
.
Заменив в соотношении (**) относительные частоты соответствующими вероятностями, получим
.
Правая часть этого приближенного равенства есть М(Х).
Итак,
.
Вероятностный смысл полученного результата таков: математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Замечание 1. Легко сообразить, что математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений. Другими словами, на числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. В этом смысле математическое ожидание характеризует расположение распределения и поэтому его часто называют центром распределения
Этот термин заимствован из механики: если массы р1, р2, …, рn расположены в точках с абсциссами х1, х2, …, хn причем 
, то абсцисса центра тяжести
.
Учитывая, что 
и получим М(Х)=хс.
Итак, математическое ожидание есть абсцисса центра тяжести системы материальных точек, абсциссы которых равны возможным значениям случайной величины, а массы – их вероятностям.
Замечание 2. Происхождение термина «математическое ожидание» связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI — XVII вв.), когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша, или, иными словами, математическое ожидание выигрыша.