Теоретическое обоснование

Деформации кручения подвергаются многие детали машин и элементы конструкций: вращающиеся валы машин, механизмов, станков, винтовые пружины, резьбовые детали, проволока и т.п.

Кручение – вид деформации круглого стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент Мк (Н∙ м). Иногда крутящий момент обозначают символом Мz. При кручении каждое поперечное сечение стержня поворачивается по отношению к любому другому сечению на некоторый угол j (рад), который называется абсолютным углом закручивания участка стержня, заключённого между рассматриваемыми сечениями (рис. 1).

Mк j

Mк

Рис. 1. Схема закручивания участка круглого стержня при кручении

Численное значение угла закручивания участка стержня диаметром d и длиной l можно определить по формуле Гука для кручения:

j = Мк ∙ l / G ∙ Ip,

где G (МПа) – модуль сдвига материала стержня (другие названия – модуль упругости 2 рода, модуль Гука), он характеризует жёсткость материала;

Ip (м⁴) – полярный момент инерции сечения (геометрическаяхарактеристика поперечного сечения круглого стержня), Iр = π d⁴ / 32.

Поворот сечения при кручении происходит за счёт сдвига частиц материала в плоскости сечения. При этом в каждой точке сечения возникают внутренние единичные силы (касательные напряжения τ), направленные

перпендикулярно радиусу к данной точке и создающие единичные моменты относительно центра тяжести сечения.

Крутящий момент Мк является результирующей или интегральной характеристикой действия касательных напряжений:

Мк = ∫ τ ∙ ρ ∙ dS,

S

где S – площадь поперечного сечения; ρ – расстояние от центра сечения до точки действия напряжения.

Напряжения при кручении распределяются по поперечному сечению неравномерно. Их величина по линейному закону увеличивается от нуля в центре сечения до максимального значения в контуре сечения, то есть на поверхности стержня. Численное значение максимального касательного напряжения при кручении τ max (МПа) определяется по формуле:

τ max = Мк / Wp,

где Wp (м³) – полярный момент сопротивления сечения, Wp = π d³ / 16.

Таким образом, стержень круглого сечения, работающий на кручение, является примером тела, во всех точках которого имеет место напряжённое состояние чистого сдвига. Выделим вокруг любой точки деформированного стержня бесконечно малый элемент с длиной ребра b. Напряжённое состояние в данной точке показано на рис. 2, а.

τ

τ

b

τ

τ

γ

b

b

τ

τ

а

б

Рис. 2. Схема деформации чистого сдвига: а – напряжённое состояние чистого сдвига; б – определение величины деформации сдвига

Для того, чтобы определить меру деформации сдвига мысленно закрепим нижнее ребро элемента (рис. 2, б). При этом произойдёт сдвиг верхнего ребра элемента на величину ∆ b и поворот боковых рёбер на угол γ.

Величина D b называется абсолютной деформацией сдвига. Угол γ называется относительной деформацией сдвига или углом сдвига.

Тангенс угла γ равен: tg γ = ∆ b/b. Так как тангенс ничтожно малого угла практически равен самому углу, можно записать: tg g» g. Окончательно,

угол сдвига равен: g = ∆ b/b.

Таким образом, мерой деформации сдвига является угол сдвига γ.

Размерность угла сдвига – [рад].

Экспериментально доказано, что для большинства материалов в области упругих деформаций существует линейная зависимость между касательными напряжениями и деформациями сдвига:

τ = G ∙ g упр.

Эту зависимость называют законом Гука при сдвиге: упругие деформации сдвига прямо пропорциональны напряжениям.

Коэффициент пропорциональности G в законе Гука – модуль сдвига. Значения модулей упругости первого рода Е и второго рода G определяются силами межатомного взаимодействия и являются физическими константами материала. Между ними существует зависимость:

Е = 2 ∙ G ∙ (1 + μ),

где μ – коэффициент Пуассона (коэффициент поперечной деформации). Он также является физической константой материала и характеризует его способность при растяжении упруго деформироваться в поперечном направлении. Коэффициент Пуассона равен отношению относительных деформаций образца в поперечном (e поп) и продольном (e прод) направленииотносительно направления растягивающей силы:

μ = e поп / e прод.

Значения коэффициентов Пуассона всех материалов лежат в интервале от 0 до 0, 5. Так коэффициент μ пробки равен 0; фанеры – 0, 07; бетона – 0, 08; каучука – 0, 47; свинца – 0, 45; стальных материалов – 0, 25 ¸ 0, 33.

Величину модуля сдвига можно определить экспериментально, например, при испытании на кручение тонкостенных трубчатых образцов (в этом случае наблюдаются практически чистые сдвиговые деформации). При испытании таких образцов строят диаграмму сдвига материала, похожую на диаграмму растяжения этого материала (рис. 3).

На диаграмме сдвига напряжение t упр соответствует условному пределу упругости материала при сдвиге. Тангенс углаaмежду прямой

ОА и осью g характеризует модуль сдвига материала G. Напряжение t т

соответствует условному пределу текучести материала при сдвиге. Для многих материалов предел текучести при сдвиге t т связан с пределом текучести при растяжении s т соотношением: t т = s т / √ 3.

τ

B C

A

упр τ т

α

О ^γ

Рис. 3. Типовая диаграмма сдвига малоуглеродистой пластичной стали

Во многих машинах и технических устройствах применяются пружины: витые (цилиндрические, конические, фасонные), плоские спиральные, фигурные, тарельчатые и другие. Материал пружины должен хорошо сопротивляться пластическим деформациям, то есть иметь высокие пределы упругости и текучести. Кроме того, по условиям эксплуатации пружины должны выдерживать большое число циклов нагружения, то есть иметь высокий предел выносливости.

К основным пружинным материалам относятся качественные рессорно-пружинные стали после специальной термической обработки, иногда применяются сплавы цветных металлов. Полуфабрикатами для изготовления витых пружин в основном являются проволока или прутки круглого сечения. Витые пружины изготавливают горячей навивкой отожжённой проволоки с последующей упрочняющей обработкой.

Наиболее широко используются цилиндрические винтовые пружины, работающие на растяжение и сжатие. На рис. 4, а показана цилиндрическая винтовая пружина, нагруженная растягивающей силой F.

Рис. 4. Цилиндрическая винтовая пружина растяжения: а – геометри-ческие параметры пружины; б – внутренние усилия в попереч-поперечных сечениях проволоки пружины

Основными параметрами пружины являются: d – диаметр поперечного сечения проволоки; D – средний диаметр пружины; a – угол подъема средней винтовой линии витков, обычно a < 15 °; n – число рабочих витков пружины. Средний диаметр пружины можно определить по формулам:

D = Dв + d или D = Dн – d,

где Dв и Dн – соответственно внутренний и наружный диаметры пружины. При сжатии или растяжении пружины с малым углом a в поперечных сечениях витков пружины возникают два внутренних силовых фактора: крутящий момент Мк, скручивающий проволоку, и поперечная сила Qy, стремящаяся перерезать проволоку (рис. 4, б). Из условия равновесия можно

определить численные значения крутящего момента и поперечной силы:

Мк = F ∙ D / 2 и Qy = F.

Таким образом, пружина с малым шагом витков работает на кручение и на срез. Касательные напряжения среза t ср считаются равномерно распределенными по сечению витка пружины (рис. 5, а). Их можно определить по формуле:

t ср = F / Scp = (4 ∙ F) / (π ∙ d²),

где Sср – площадь поперечного сечения витка пружины.

Рис. 5. Распределение касательных напряжений по поперечному сечению: а – напряжения среза; б – напряжения кручения

Касательные напряжения кручения t к возрастают по линейномузакону от центра к периферии сечения (рис. 5, б). Максимальные напряжения кручения действуют в точках контура сечения. Они равны:

t к = (16 ∙ Мк) / (π ∙ d³) = (8 ∙ F ∙ D) / (π ∙ d³).

Наиболее опасной точкой поперечного сечения витка пружины является точка К, так как в ней совпадают направления действия напряжений среза и кручения, причём напряжения кручения максимальны. Величину суммарного касательного напряжения, возникающего в точке К можно рассчитать по формуле:

t max = t к + t ср = (8 ∙ F ∙ D) / (π ∙ d³) + (4 ∙ F) / (π ∙ d²).

Второе слагаемое в формуле меньше первого в (2D/d) раз, что на практике составляет 10 и более раз. Это означает, что доля напряжений среза при работе пружины очень мала (менее 5 %), и ими можно пренебречь. В случаях, когда отношение 2D/d меньше 10, напряжения среза необходимо учитывать.

Таким образом, при растяжении или сжатии цилиндрических витых пружин с малым шагом витков в поперечных сечениях их витков возникает напряжённое состояние чистого сдвига, так как в них возникают лишь касательные напряжения. Максимальное напряжение можно рассчитать по формуле:

t max = (8 ∙ F ∙ D) / (π ∙ d³).

Допускаемые напряжения для рессорно-пружинных сталей принимают равными 400 ¸ 600 МПа.

Основным технологическим параметром пружины является её жесткость с. Жесткость пружины характеризует ее способностьсопротивляться растяжению или сжатию. Она определяется отношением нагрузки F к деформации пружины λ:

с = F / λ,

где λ (мм) – осадка пружины, она характеризует абсолютное удлинение или укорочение пружины. Осадка пружины прямо пропорциональна силе. Величина осадки зависит от силы, диаметра пружины, числа её витков, диаметра витка и от материала пружины:

λ = (8 ∙ F ∙ D³ ∙ n) / (G ∙ d⁴),

где n – число рабочих витков; G – модуль сдвига материала пружины. Жёсткость пружины можно определить по формуле:

с = (G ∙ d⁴) / (8 ∙ D³∙ n).

Для экспериментального исследования цилиндрических винтовых пружин растяжения и сжатия используют прибор ДП-6А. С помощью этих исследований можно определить и модуль сдвига материала, из которого изготовлена пружина:

G = (8 ∙ D³ ∙ n ∙ с) / d⁴.