Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Теоретическое обоснование. Многие детали и элементы конструкций в процессе эксплуатации испытывают деформацию изгиба
|
|
Многие детали и элементы конструкций в процессе эксплуатации испытывают деформацию изгиба. При изгибе происходит искривление оси деформируемого тела. Брусья (стержни), работающие в основном на изгиб, называются балками. Поперечным сечением балки может быть круг, прямоугольник, швеллер, двутавр, уголок, рельс, любая другая более сложная фигура.
В зависимости от условий закрепления различают балки консольные, двухопорные, многоопорные. На рис. 1 изображена двухопорная балка, нагруженная изгибающей силой F. Расстояние l между опорами называется пролетом балки.
F
l
Рис. 1. Схема нагружения двухопорной балки изгибающей нагрузкой
Если внешние изгибающие нагрузки действуют в плоскости, проходящей через ось балки, изгиб называют прямым, в противном случае – косым.
Прямым поперечным изгибом называется такой вид деформациибалки, когда в её поперечных сечениях возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент Мх, стремящийся повернуть сечение вокругего нейтральной оси x, и поперечная сила Qy, действующая в плоскости сечения и стремящаяся перерезать балку (рис. 2). Если на каком-либо участке балки поперечная сила равна нулю, такой вид напряжённого состояния тела называется чистым изгибом.
| Mx | Mx | ||
| Qy | |||
| Qy | |||
| Рис. 2. Элемент балки, испытывающий деформацию прямого попереч- | |||
| ного изгиба | |||
| Для наглядного представления о характере изменения поперечной | |||
| силы и изгибающего момента по длине балки и для нахождения опасных | |||
| сечений строят эпюры Qу и | Mх(рис. 3). | ||
| F/2 | F | F/2 | |
| l /2 | l /2 | ||
| F/2 | Qy, Н | ||
| F∙ l /4 | F/2 | ||
| Mx, Н · м | |||
| Рис. 3. Эпюры поперечной силы Qу | и изгибающего момента Mх | ||
| Из эпюр можно определить Qу и Mх в любом поперечном сечении | |||
| балки. Для данной схемы нагружения наиболее опасным сечением является | |||
| сечение посередине пролета балки, так как в этом месте действует | |||
| максимальный изгибающий момент. | |||
| Изгибающий момент представляет собой равнодействующий момент | |||
| внутренних нормальных сил – нормальных напряжений s, действующих | |||
| в каждой точке поперечного сечения балки и перпендикулярных ему. | |||
| Значения нормальных напряжений по высоте сечения не одинаковы и | |||
| изменяются по линейному закону. Нормальное напряжение в любой точке | |||
| поперечного сечения можно рассчитать по следующей формуле: |
s = (Мх / Jх) × y,
где Мх – изгибающий момент в данном поперечном сечении; y – расстояние от нейтральной оси х до точки, в которой определяется напряжение; Jх – осевой момент инерции сечения относительно его нейтральной оси х.
| b | |
| x | h |
– σ max
+ σ max
Рис. 4. Эпюра нормальных напряжений по высоте сечения
Осевой момент инерции сечения Jх является геометрической характеристикой жёсткости поперечного сечения и зависит только от егоформы и размеров. Значения осевых моментов инерции для стандартных профилей приводятся в справочниках, а для простых фигур рассчитываются по формулам. Осевой момент инерции прямоугольного сечения равен:
| Jх = b ∙ h3 / 12, | |
| где b – сторона | сечения, параллельная оси х; h – сторона сечения, |
| перпендикулярная | оси х (рис. 4). Размерность осевого момента инерции |
| сечения – [м4]. |
В точках сечения, лежащих на оси х, нормальные напряжения равны нулю (y = 0). Это значит, что в этом слое балки материал не испытывает ни растяжения, ни сжатия, этот слой называется нейтральным. Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения балки называется нейтральной осью (линией).
Слои балки, лежащие выше нейтрального слоя, испытывают сжатие, а слои, лежащие ниже его, испытывают растяжение. Максимальные нормальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси (y = h/2). Они определяются по формуле:
s max = ± (Мх / Jх) × (h / 2).
В слоях, испытывающих растяжение, напряжения принимают
положительными, а в слоях, испытывающих сжатие – отрицательными.
В расчётах на прочность используется такая характеристика поперечного сечения, как осевой момент сопротивления сечения Wx. Он определяется по формуле: Wx = Jx / (h/2). Тогда максимальные нормальные напряжения при изгибе можно рассчитать по формуле:
s max = ± Мх / Wх.
Осевые моменты сопротивления стандартных профилей приводятся в справочной литературе. Размерность осевого момента сопротивления – [м3].
Поперечная сила Qу представляет собой равнодействующую силу внутренних касательных сил – касательных напряжений t, действующих в плоскости сечения. Величина касательных напряжений по высоте поперечного сечения также различна (рис. 5).
| b | τ max | |
| h | ||
| x |
Рис. 5. Эпюра касательных напряжений по высоте сечения
Касательные напряжения в произвольной точке поперечного сечения можно вычислить по формуле:
t = (Qy ∙ Sxω) / (Jx ∙ by),
где Qy – поперечная сила в рассматриваемом сечении; Sxω – статический момент относительно нейтральной оси х той части сечения, котораярасположена по одну сторону прямой, проведённой параллельно оси х через данную точку; Jx – момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси; by – ширина поперечного сечения на уровне рассматриваемой точки.
Для прямоугольного сечения эта формула после подстановки соответствующих величин преобразуется в следующее выражение для определения касательных напряжений:
t = 6 ∙ Qy ∙ (h2/4 – y2) / b ∙ h3.
В точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси (у = h/2), касательные напряжения равны нулю. Максимальные касательные напряжения действуют в точках нейтрального слоя (у = 0). Они равны:
t max = 3 ∙ Qy / (2 ∙ b ∙ h).
Под действием внешних изгибающих нагрузок ось балки искривляется, поперечные сечения балки перемещаются относительно своих начальных положений на определенные величины. Эти величины называются прогибами f. Они характеризуют жёсткость балки и являются основноймерой деформации изгиба.
В области упругих деформаций прогибы прямо пропорциональны приложенным нагрузкам: F = k × f. Коэффициент пропорциональности k зависит от схемы нагружения балки, от формы и размеров её поперечных сечений, от материала, из которого она изготовлена, от места расположения рассматриваемого сечения.
В общем случае для определения коэффициентов k, а следовательно и прогибов f, необходимо решать дифференциальные уравнения упругой
| линии балки. Для наиболее простых случаев нагружения эти уравнения | ||||||
| решены и результаты решений приводятся в литературе. | ||||||
| Для случая нагружения, изображённого на рис. 3, максимальным будет | ||||||
| прогиб сечения, расположенного в месте приложения силы F. Для данного | ||||||
| сечения решение дифференциального уравнения упругой линии балки даёт | ||||||
| следующее значение коэффициента пропорциональности: | ||||||
| k = 48 ∙ E ∙ Jx / l 3 | , | |||||
| где Е – модуль упругости материала балки. | ||||||
| Тогда прогиб данного сечения будет равен: | ||||||
| f | = | F / k = (F ∙ l 3) / (48 ∙ E ∙ Jx). | ||||
| Коэффициент пропорциональности можно найти экспериментально с | ||||||
| помощью лабораторной установки. Для этого необходимо построить | ||||||
| зависимость прогибов сечения от нагрузки (рис. 6). | ||||||
| F, Н | ||||||
| FC | C | |||||
| FA | A | |||||
| α | ||||||
| О | f A | f | С | f, мм | ||
| Рис. 6. Зависимость прогибов сечения балки от нагрузки | ||||||
| Коэффициент пропорциональности определяется углом α наклона | ||||||
| прямой ОАС: | k = tg α = (FC – FA) / (fC – fA). | |||||
По результатам испытаний можно определить модуль упругости материала, из которого изготовлена балка:
E = (k ∙ l 3) / 48 ∙ Jx.