КАТЕГОРИИ:

Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод обернених різниць Тіле. 1. Амосов АА., Дубжзскнн ЮА, Копченова HLB

⇐ ПредыдущаяСтр 14 из 14

Література

1. Амосов АА., Дубжзскнн ЮА, Копченова HLB. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие.-М.: Высшая школа. 1994. 544с.

2. Азаров АН.. Баснк В А.. Мелешко ИН. и др. Сборник задач по методам вычислении Пол ред. ПИ. Монастырского, -Минск: Издательство БГУ, 1983.

3. Богнаев Ю.П Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов. - М: Высшая школа. 1990. 544с.

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

7. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть 2: Учебное пособие. — Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.108с»

8. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть.: Учебное пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.10Sc.

9. Охлопков HLM-. Бадаева ОН.. Вычислительные алгоритмы решения некоторых задач математики: Методическое пособие. -Якутск: Издательство ЯГУ, 1995. 42 с.

10. Охлопков HLM., Иванов ФМ. Лабораторные работы по методам вычислений. Часть 1: Методическое пособие.- Якутск: Издательство ЯГУ. 1992.45 с.

11. Охлопков Н.М.. Иванов Ф.В. Лабораторные работы по методам вычислении. Часть 2: Методическое пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ 1992.42 с.

12. Охлопков HLM. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. Якутск: Изд - во ЯГУ. 1993. 102 с.

Урок №___ 67 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Чисельна реалізація методу Пікара ______

Питання: 1. Постановка завдання

2. Метод Пікара

При побудові математичних моделей більшості реальних фізичних, хімічних, біологічних процесів виникають звичайні диференціальні рівняння або рівняння з приватними похідними. Ми розглянемо наближені способи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь, обмежившись при цьому для простоти лише рівняннями першого порядку, дозволеними щодо похідної.

ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ

Визнач рівняння Y'=f(x, Y) і початкова умова Y(х₀)=Y₀. Потрібно знайти з заданим ступенем точності наближене рішення Y = Y (х), що задовольнить початковому умові і рівнянню на деякому відрізку [a, b], де a=X₀.

Метод Пікара.

Нагадаємо відомі теореми Пікара і Пеано про існування і єдиності рішення даного завдання (задачі Коші).

Теорема Пеано стверджує, що рішення задачі Коші існує в деякій околиці точки Хо, якщо функція f (x, Y) безперервна в околиці точки (Xо, Yо).

Теорема Пікара свідчить, що якщо не тільки функція f (x, Y), а й її приватна похідна f'у (x, Y) також неперервна в околиці точки (Хо, Уо), то рішення задачі Коші єдино на деякому відрізку, що містить точку Хо.

Доказ теореми Пікара випливає з загального принципу стискаючих відображень, воно дуже непросто, але має суттєву перевагу-воно конструктивно. Причому послідовність функцій Yn (x), яка будується в ньому, сходиться до вирішення рівномірно на відрізку зі швидкістю геометричної прогресії. У методі Пікара послідовність функцій Yn (x) будується за рекуррентной формулою:

при n = 0, 1, 2,...,

а за нульове наближення береться константа Y₀: Y₀ (х)º Y₀.

Для того, щоб стало зрозуміло походження цієї рекурентної формули, зауважимо, що інтегральне рівняння

еквівалентно вихідної задачі Коші, оскільки будь-яка функція Y (х), що є його рішенням, задовольняє початковому умові Y (Хо) = Yо і рівнянню Y '(х) = f (x, Y (х)) і навпаки.

Питання: Чому це дійсно так?

Приклад 4.1 Застосуємо метод Пікара для рішення рівняння Y '= Y з початковою умовою Y (0) = 1. Таке завдання еквівалентна пошуку рішення інтегрального рівняння Y=1+ò Y(t)dt.

В якості початкового наближення беремо функцію Yо = 1.

Тоді Y1=1+ò Yо(t)dt= 1+ò dt= 1+x.

Далі, Y2= 1+ò Y1(t)dt= 1+ò (1+t)dt= 1+x+x²/2.

Y3= 1+ò Y2(t)dt= 1+ò (1+t+t²/2)dt= 1+x+x²/2+x³/6.

Можна переконатися, що Yn= 1+х+x²/2+... +xⁿ/n!.

Вправа 4.1.Доказать останнє рівність строго, використовуючи принцип математичної індукції.

Вправа 4.2.В прикладі 4.1 знайти точне рішення Y (Х) і оцінити швидкість рівномірної збіжності Yn (x) -> Y (Х) на відрізку [0, 1].

В цілому, наближені методи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь можна розбити на 3 типи:

• аналітичні, що дозволяють отримати наближене рішення Y (х) у вигляді формули,

• графічні, що дають можливість наближеного побудови графіка рішення Y (х), тобто інтегральної кривої,

• чисельні, в результаті застосування яких виходить таблиця наближених значень функції Y (х),

хоча такий розподіл і кілька умовно.

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Постановка завдання.

2. Метод Пікара

Література

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

⇐ Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 1314

Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2025 год. (0.007 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал