Чисельні коефіцієнти 2 страница

де ω ij - частості умовного розподілу в i-му рядку;

ω j - частості безумовного розподілу;

j - номер стовпця.

Якщо ознаки незалежні, то ω ij = ω j, звідки X 2 = 0 і, отже, С = 0. Якщо ж зв'язок функціональна, то коефіцієнт взаємної спряженості буде дорівнює одиниці.

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Вибір форми зв'язку

2. АНАЛІТИЧНИЙ вираз зв'язку

Література

1. Амосов АА., Дубжзскнн ЮА, Копченова HLB. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие.-М.: Высшая школа. 1994. 544с.

2. Азаров АН.. Баснк В А.. Мелешко ИН. и др. Сборник задач по методам вычислении Пол ред. ПИ. Монастырского, -Минск: Издательство БГУ, 1983.

3. Богнаев Ю.П Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов. - М: Высшая школа. 1990. 544с.

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

7. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть 2: Учебное пособие. — Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.108с»

8. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть.: Учебное пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.10Sc.

9. Охлопков HLM-. Бадаева ОН.. Вычислительные алгоритмы решения некоторых задач математики: Методическое пособие. -Якутск: Издательство ЯГУ, 1995. 42 с.

10. Охлопков HLM., Иванов ФМ. Лабораторные работы по методам вычислений. Часть 1: Методическое пособие.- Якутск: Издательство ЯГУ. 1992.45 с.

11. Охлопков Н.М.. Иванов Ф.В. Лабораторные работы по методам вычислении. Часть 2: Методическое пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ 1992.42 с.

12. Охлопков HLM. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. Якутск: Изд - во ЯГУ. 1993. 102 с.

Урок №___ 24 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Логаріфмична залежність _

Питання: 1. Показова і логарифмічна залежності

2. Приклади застосування функцій

Показова і логарифмічна залежності, при. визначенні показової залежності в якості аргументу (наприклад, х) виступає показник ступеня:

Оберненою для показової функції є логарифмічна:

Графіки логарифмічної функції мають таку ж форму, як і графіки показової функції, але вони розташовані стосовно останніх симетрично щодо осі х (показові – y).

Коли в показовій функції за підставу ступеня а прийняте ірраціональне число е=2, 71828, то залежність називається експоненціальна. Логарифмічна функція з основою, яка рівна числу е називається натуральним логарифмом (у=ln(x)). При вивченні різноманітних природних процесів, включаючи і біологічні, найбільш часто зустрічаються залежності між перемінними величинами, що описуються показовими і логарифмічними функціями з основою е. Розглянемо декілька прикладів застосування такого виду функцій.

а) Для більшості біологічних процесів, у тому числі і розмноження різноманітних популяцій, значення змінної, що характеризує чисельність популяції, не може необмежено збільшуватися. Для опису таких процесів добре пристосована показова функція з від'ємним показником. Чисельність більшості популяцій спочатку збільшується, а потім залишається постійною і не перевищує деякої величини Nmax:

де κ - коефіцієнт, що визначається експериментально для кожного виду популяції; N0 - початкова чисельність популяції. Пряма N=Nmаx є горизонтальною асимптотою графіка цієї функції, а величина Мmах -називається " ємність середовища".

Збудуємо цю залежність і в Маthcad -документі проаналізуємо вплив коефіцієнта (κ) на вид одержуваних графіків:

N0: =200

Nmax: 1500

t: 0, 0+.01; 10

N(N0, Nmax, k, t): N0+(Nmax-N0)*(1-e^-k*t< пробіл>)

Для побудови графіків використовують значення функцій (N1, N2,: N3), що розраховані при різноманітних значеннях коефіцієнтів (кі, к2, кЗ).

б) Приклад, пов'язаний з дією на організм тварин шкідливих речовин (токсинів), що скорочують тривалість їх життя. Якщо дозу речовини, що діє на організм позначити через р, середню тривалість життя тварин позначити через Тm і врахуємо дію великої кількості токсичних речовин (p→ ∞), що скорочують тривалість життя Т до величини Tp, то процес дії шкідливої речовини добре описується наступною показовою функцією:

в) Приклад, у якому для кращого математичного опису процесів збільшення ваги морських тварин застосовується формула Верталанфі, тобто комбінація показової і статечної функції:

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Показова і логарифмічна залежності

2. Приклади застосування функцій

Література

3. Амосов АА., Дубжзскнн ЮА, Копченова HLB. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие.-М.: Высшая школа. 1994. 544с.

4. Азаров АН.. Баснк В А.. Мелешко ИН. и др. Сборник задач по методам вычислении Пол ред. ПИ. Монастырского, -Минск: Издательство БГУ, 1983.

5. Богнаев Ю.П Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов. - М: Высшая школа. 1990. 544с.

6. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

7. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

8. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

9. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть 2: Учебное пособие. — Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.108с»

10. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть.: Учебное пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.10Sc.

11. Охлопков HLM-. Бадаева ОН.. Вычислительные алгоритмы решения некоторых задач математики: Методическое пособие. -Якутск: Издательство ЯГУ, 1995. 42 с.

12. Охлопков HLM., Иванов ФМ. Лабораторные работы по методам вычислений. Часть 1: Методическое пособие.- Якутск: Издательство ЯГУ. 1992.45 с.

13. Охлопков Н.М.. Иванов Ф.В. Лабораторные работы по методам вычислении. Часть 2: Методическое пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ 1992.42 с.

14. Охлопков HLM. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. Якутск: Изд - во ЯГУ. 1993. 102 с.

Урок №___ 25 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Параболічна залежність _

Питання: 1. Параболічна залежність

2. Приклади застосування функцій

Використовуючи метод парного кореляційно-регресійного аналізу виявити залежність між обсягом продажу (Y) і витратами на рекламу (X). Побудуйте поле кореляції. Для апроксимації використовуйте як мінімум 3 види залежностей (прямолінійну, параболічну і логарифмічну). Оцінити тісноту зв'язку і точність апроксимації, зробіть висновки про можливість використання моделі для прогнозування. Витрати на рекламу X Обсяг продажів Y

Задача 2 Визначити залежність між фактором і результатірующім ознакою за даними, наведеними в таблиці. Розрахувати коефіцієнт кореляції, визначити вид залежності, параметри лінії регресії, кореляційне відношення і оцінити точність апроксимації. N Основна заробітна плата (тис. грош. Од) Витрати по експлуатації машин і механізмів (тис. грош. Од)

РІШЕННЯ

Задача 1

Поле кореляції:

1. Прямолінійна залежність

Рівняння прямої y = a + bx, таким чином, використовуючи метод найменших квадратів, мінімізуємо функцію . Для знаходження коефіцієнтів a і b, продиференціюємо по кожному параметру a і b прирівняємо, 0 і отримаємо систему рівнянь.

Для обчислення параметрів a і b прямий заповнюємо розрахункову таблицю:

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Параболічна залежність

2. Приклади застосування функцій

Література

1. Амосов АА., Дубжзскнн ЮА, Копченова HLB. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие.-М.: Высшая школа. 1994. 544с.

2. Азаров АН.. Баснк В А.. Мелешко ИН. и др. Сборник задач по методам вычислении Пол ред. ПИ. Монастырского, -Минск: Издательство БГУ, 1983.

3. Богнаев Ю.П Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов. - М: Высшая школа. 1990. 544с.

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

7. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть 2: Учебное пособие. — Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.108с»

8. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть.: Учебное пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.10Sc.

9. Охлопков HLM-. Бадаева ОН.. Вычислительные алгоритмы решения некоторых задач математики: Методическое пособие. -Якутск: Издательство ЯГУ, 1995. 42 с.

10. Охлопков HLM., Иванов ФМ. Лабораторные работы по методам вычислений. Часть 1: Методическое пособие.- Якутск: Издательство ЯГУ. 1992.45 с.

11. Охлопков Н.М.. Иванов Ф.В. Лабораторные работы по методам вычислении. Часть 2: Методическое пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ 1992.42 с.

12. Охлопков HLM. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. Якутск: Изд - во ЯГУ. 1993. 102 с.

Урок №___ 28 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Загальні питання _

Питання: 1. Сплайни

2. Лінійні B-сплайни

Одним з найширше використовуваних представлень кривих в комп'ютерному баченні є представлення у вигляді В-сплайну. Важливо розрізняти сплайни і В-сплайни. В-сплайни є поліноміальними функціями. Сплайни є лінійною комбінацією В-сплайнів. У літературі сплайни зазвичай визначаються як різні види степеневої функції. Для обчислень зручніше визначати сплайни рекурсивними функціями.

Приймемо без доведення наступну лему, яку буде використано для доведення важливої теореми:

Лема 1. Нехай - множина сплайнів порядку m дефекту 1 по розбиттю . Якщо і сплайн із задовольняє умови , то на .

Теорема 1. Система із В-сплайнів

, (1) порядку за розбитям з носіями є базисом в .

Доведення. Нехай

, ; (2) потрібно довести, що (). Безпосередньо із визначення В-сплайнів (1) виплива, що при ; але тоді з урахуванням (2) , і в силу леми 1 для . Таким чином,

, .(3)

Оскільки на проміжку , а при , то із (3) слідує, що , так що

, .

Для при і при , а тому і

, .

Розмірковуючи аналогічно, далі прийдемо до рівності

що й треба було довести.

Наслідок 1. Будь-який сплайн із єдиним чином представляється у вигляді

, .(4)

Якщо сплайн із однозначно визначається деяким набором із інтерполяційних умов, то, підставляючи в ці умови замість суму (4), отримаємо систему лінійних рівнянь для визначення коефіцієнтів . Усилу скінченності носіїв сплайнів в кожному рядочку визначника цієї системи, не дорівнюватимуть нулю лише елементів - значення сплайнів (або їх похідних) в одній із точок розбиття . При цьому не нульові елементи, які відповідають внутрішнім умовам інтерполяції, будуть розміщені вздовж головної діагоналі визначника. Саме це і забезпечує, принаймні для малих , простоту обчислення коефіцієнтів лінійної комбінації (4) [1].

В-сплайн нульового степеня та рекурентна форма запису В-сплайнів вищих порядків

В-сплайном нульового степеня, побудованим на числовій прямій по розбиттю , називається функція вигляду:

, (5)

Єдине обмеження полягає в тому, що В-сплайни повинні відповідати умові:

Зокрема, якщо , то [2].

В-сплайн степеня , побудований на числовій прямій по розбиттю , визначається наступною рекурентною формулою:

, (6)

де , . (7)

При однаковій відстані між сусідніми вузлами В-сплайни називаються однорідними, в протилежному випадку неоднорідними. Для однорідних B-сплайнів, базисні B-сплайни однакового степеня є зміщеними екземплярами однієї функції [3].

Нерекурсивним визначенням базисних B-сплайнів є

, (8)

де , [3]. (9)

Лінійні B-сплайни

Лінійні B-сплайни є неперервними, але не диференційованими.

Скориставшись рекурентною формулою (6), отримаємо формулу для лінійного В-сплайна:

(10)

Підставивши у (10) формулу (5) маємо:

(11)

Або у випадку рівномірної сітки з кроком () отримаємо:

(11’)

Нижче на малюнку 1 представлено графік В-сплайна 1-го порядку:

Мал. 1 - Графік В-сплайна

Квадратичні B-сплайни

Із рекурентної формули (6), отримаємо наступну форму запису квадратичного В-сплайна:

(12)

Тепер ми можемо, або скористатись лише формулою (11), підставивши її у (12) отримаємо:

(13)

А у випадку рівномірної сітки з кроком h матимемо:

(13’)

Або спершу в (12) підставимо (10) і, зробивши відповідні перетворення, отримаємо квадратичний В-сплайн в вигляді:

, (14)

а потім в (14) підставимо (5) і отримаємо ту ж саму формулу (13) [4].

Графік В-сплайна 2-го - - степеня представлено на малюнку 2:

Мал. 2 - Графік В-сплайна

В-сплайн довільного степеня може бути відмінним від нуля лише на деякому відрізку (визначеному вузлами) [4].

Кубічні B-сплайни

Формули задання кубічних B-сплайнів

Зробивши аналогічні дії, що й при квадратичному В-сплайні, ми отримаємо формулу (15) для кубічного В-сплайна:

Зауваження. Кубічні В-сплайни зручніше нумерувати так, щоб сплайн був відмінний від нуля на відрізку [5]. Запишемо тепер у випадку рівномірної сітки (з кроком ) його:

(15’)

Типічний графік кубічного В-сплайну показано на мал. 3:

Мал. 3 - Типічний графік кубічного В-сплайну

Базис у просторі кубічних сплайнів

Функція :

а) двічі неперервно диференційовна на відрізку ;

б)відмінна від нуля тільки на чотирьох відрізках

Відрізок називають носієм функції [6].

Доповнимо розбиття допоміжними вузлами:

, взятими довільно.

За розширеною сіткою:

: можна побудувати сім’ю з кубічних В-сплайнів:

,

Ця сім’я утворює базис в просторі кубічних сплайнів на відрізку . Тим самим довільний кубічний сплайн , побудований по розбиттю із вузла, може бути представлений на цьому відрізку в вигляді лінійної комбінації:

Умовами задачі коефіцієнти цього розбиття визначаються однозначно [7].

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Сплайни

2. Лінійні B-сплайни

Література

1. Амосов АА., Дубжзскнн ЮА, Копченова HLB. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие.-М.: Высшая школа. 1994. 544с.

2. Азаров АН.. Баснк В А.. Мелешко ИН. и др. Сборник задач по методам вычислении Пол ред. ПИ. Монастырского, -Минск: Издательство БГУ, 1983.

3. Богнаев Ю.П Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов. - М: Высшая школа. 1990. 544с.

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

7. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть 2: Учебное пособие. — Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.108с»

8. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть.: Учебное пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.10Sc.

9. Охлопков HLM-. Бадаева ОН.. Вычислительные алгоритмы решения некоторых задач математики: Методическое пособие. -Якутск: Издательство ЯГУ, 1995. 42 с.

10. Охлопков HLM., Иванов ФМ. Лабораторные работы по методам вычислений. Часть 1: Методическое пособие.- Якутск: Издательство ЯГУ. 1992.45 с.

11. Охлопков Н.М.. Иванов Ф.В. Лабораторные работы по методам вычислении. Часть 2: Методическое пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ 1992.42 с.

12. Охлопков HLM. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. Якутск: Изд - во ЯГУ. 1993. 102 с.

Урок №___ 31 ____