КАТЕГОРИИ:

Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Зведення нашого рівняння до вигляду , який може застосовуватись при методі ітерацій.

Стр 1 из 14Следующая ⇒

Розробив викладач

Бонк В. О. ___________________

Розглянуто та схвалено на засіданні предметної комісії Обслуговування комп’ютерних систем та мереж

Протокол № ___ від _________

Голова комісії

Шевченко Ю.В. _____________

Кіровоград 20 _ р.

Урок №___ 2 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Ітераційний метод наближеного обчислення значень функції _______

Питання: 1. Зведення нашого рівняння до вигляду, який може застосовуватись при методі ітерацій.

2. Умова закінчення обчислень в методі ітерацій

Метод ітерацій

Застосовується до рівняння вигляду Х= u(x) на відрізкі [a, b], де:

а) модуль похідної функції u(x): | u'(x) | < = q < 1 (xÎ [a, b])

б) значення u(x) лежать на [a, b], т.б. a < = u(x) < = b при xÎ [a, b].

Якщо на перед відомо, що на відрізку [a, b] розташований рівно один корень уравнения Х=u(x), то достатньо перевірити виконання умови а).

Завдання: визначити, чи може застосовуватися метод ітерації для рівнянь:

Х=ln(3X+2) на отрезке [0, 5]. А на відрізкі [1, 5]?

Х=е ^х-9 на відрізкі [10, 12]. А на відрізкі [0, 1]?

Зведення нашого рівняння до вигляду, який може застосовуватись при методі ітерацій.

Зведення рівняння f (x) = 0 до потрібного виду зазвичай здійснюють одним із двох способів:

1) Виражають один з Х, що входять в рівняння, наприклад рівняння е^х - х-=0 приводять до вигляду:

Х=е^х або Х = ln (х)

2) Підбирають множник і роблять перетворення: f (х) = 0 => k * f (x) = 0 => х = х + k * f (x), тобто u (x) = х + k * f (x). Наприклад, якщо 0 < m < f '(x) < = M при ХÎ [a, b], то можна в якості k взяти величину - 1 / М, і тоді 0 < = u' (x) = 1 + до * f '(x) = 1 - 1 / M * f' (x) < = 1 - m / M

Вправа. Звести до вигляду, придатного для застосування методу ітерацій рівняння:

х3-3 х2 + 1 = 0 на відрізку [2, 3].

x * tg (x / 2) - sin (x / 2) = 0 на відрізку [-1, 1].

9-x2-ex = 0 на відрізку [1, 2].

Суть та обгрунтування методу ітерацій.

Суть методу ітерацій полягає в побудові рекурентних послідовності чисел, що сходиться до рішення, за формулою х_к+1 = u(x_к), к=0, 1, 2,..., где х₀Î [a, b] -довільна точка.

Справедливість методу обгрунтовує наступна ТЕОРЕМА:

Нехай на [a, b] задана функція u (x), що задовольняє умовам а) і б), а х₀ - довільна точка відрізку [a, b], причому рівняння x = u (x) має корінь. Тоді послідовність {Xк}, побудована за формулою х_к+1 = u(x_к) сходиться до рішення не повільніше, ніж геометрична прогресія зі знаменником q.

Доказ: Порівняємо відстані від точок х_к+1 та x_к до рішення (позначимо його С), використовуючи теорему Лагранжа:

| х_к+1-С| = |u(x_к)- u(C)| = | (х_к-с) u'(у)|< = |(х_к-с)|* max | u'(x) | = q |(х_к-с)|,

що потрібно було довести.

Зауваження 1. Вимога існування кореня наведено в теоремі лише для простоти докази.

Зауваження 2. Теорема є одним з окремих випадків застосування принципу стискаючих відображень, який часто застосовується в самих різних питаннях багатьох точних наук.

Умова закінчення обчислень в методі ітерацій.

Зауваження 3. Процес побудови послідовності слід обривати, коли стане вірним нерівність |х_к+1-х_к|< e*(1-q)/q. У цьому випадку х_к+1 і дає наближення до вирішення з необхідною точністю.

Вправа 1.12. Довести, що в умовах теореми з нерівності |х_к+1-х_к|< e*(1-q)/q випливає нерівність |х_к+1-с|< e.

Вправа 1.13.Составіть алгоритм та програму на одній з мов для розв'язання рівнянь методом ітерацій.

Порівняння різних методів.

Порівняння методів зазвичай проводиться за наступними критеріями:

1.Універсальность.

2.Простота організації обчислень та контролю за точністю.

3.Скорость збіжності.

Якщо порівняти три наведених вище методу, то слід зазначити, що

1) Найбільш універсальним є метод половинного ділення, оскільки він застосовний для будь безперервної функції. Однак і в двох інших методах обмеження не надто жорсткі і, звичайно, на практиці можна застосовувати будь-який метод.

2) Усі три методи приблизно однакові і дуже прості.

3) Швидкість збіжності в методі половинного ділення-геометрична прогресія зі знаменником 1/2, в методі ітерації-зі знаменником q, а метод Ньютона, як правило, дає збіжність зі швидкістю, що перевищує швидкість збіжності будь-якої геометричної прогресії. У всіх випадках швидкість збіжності дуже висока

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Зведення нашого рівняння до вигляду, який може застосовуватись при методі ітерацій.

2. Умова закінчення обчислень в методі ітерацій

Література

1. Амосов АА., Дубжзскнн ЮА, Копченова HLB. Вычислительные методы для инженеров: Учебное пособие.-М.: Высшая школа. 1994. 544с.

2. Азаров АН.. Баснк В А.. Мелешко ИН. и др. Сборник задач по методам вычислении Пол ред. ПИ. Монастырского, -Минск: Издательство БГУ, 1983.

3. Богнаев Ю.П Вычислительная математика и программирование: Учебное пособие для студентов втузов. - М: Высшая школа. 1990. 544с.

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

7. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть 2: Учебное пособие. — Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.108с»

8. Охлопков HLM-. Численные методы и вычислительные алгоритмы. Часть.: Учебное пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ. 1994.10Sc.

9. Охлопков HLM-. Бадаева ОН.. Вычислительные алгоритмы решения некоторых задач математики: Методическое пособие. -Якутск: Издательство ЯГУ, 1995. 42 с.

10. Охлопков HLM., Иванов ФМ. Лабораторные работы по методам вычислений. Часть 1: Методическое пособие.- Якутск: Издательство ЯГУ. 1992.45 с.

11. Охлопков Н.М.. Иванов Ф.В. Лабораторные работы по методам вычислении. Часть 2: Методическое пособие. - Якутск: Издательство ЯГУ 1992.42 с.

12. Охлопков HLM. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Учебное пособие. Якутск: Изд - во ЯГУ. 1993. 102 с.

Урок №___ 4 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Обчислення оберненої величини квадратного кореня _______

Питання: 1. Обернена матриця.

2. Неособлива матриця

Обернена матриця

Як відомо, для кожного числа а≠ 0 існує обернене число, тобто таке число а^-1, що а ∙ а^-1 = а^-1 ∙ а = 1.

Оскільки в множині квадратних матриць n -го порядку роль одиниці відіграє одинична матриця Е, то природно, за аналогією, прийняти таке означення: матриця А називається оберненою для квадратної матриці А, якщо А? =А? =Е. Легко зрозуміти, що не для кожної квадратної матриці існує обернена матриця. Питання про існування для даної матриці А оберненої матриці виявляється складним. Зважаючи на некомутативність множення матриць ми говоритимемо зараз про праву обернену матрицю, тобто про таку матрицю А^-1, що добуток матриці А справа на цю матрицю дає одиничну матрицю

AA^-1 = E (1)

Якщо матриця А вироджена, то, якби матриця А^-1 існувала, то добуток, що стоїть в лівій частині рівності (1), був би виродженою матрицею, тоді як насправді матриця E, яка стоїть в правій частині цієї рівності, є невиродженою, оскільки її визначник рівний одиниці. Таким чином, вироджена матриця не може мати правої оберненої матриці. Такі ж міркування показують, що вона не має і ліву обернену матрицю і тому для виродженої матриці обернена матриця взагалі не існує.

Отже, з'ясуємо, які умови має задовольняти матриця А, щоб для неї існувала обернена матриця. Нехай

— довільно вибрана матриця n -го порядку. Матриця

в якій елементами i-го рядка (i=1, 2,..., п) є алгебраїчні доповнення елементів і- го стовпця матриці А, називається взаємною матрицею для матриці А.

Теорема 1. Визначник det A дорівнює сумі добутків всіх елементів будь-якого його рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення.

Теорема 2. Сума добутків всіх елементів деякого рядка (стовпця) визначника det A на алгебраїчне доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Беручи до уваги теореми 1, 2 та позначивши через detA визначник матриці A, обчислимо добутки і . Дістанемо

. (2)

Матриця А=(a_і_k) називається невиродженою ( або неособливою), якщо її визначник відмінний від нуля. Вона називається виродженою (особливою), якщо її визначник дорівнює нулю. Із співвідношень (2) випливає, що якщо матриця А невироджена, то взаємна їй матриця також буде невиродженою, причому det дорівнює (n-1) -му степеневі det A.

Переходячи від рівностей (1) до рівності визначників, дістанемо

звідки, оскільки , .

Теорема 3. Для того щоб існувала матриця, обернена до матриці А, необхідно й достатньо, щоб матриця А була невиродженою.

Необхідність. Припустимо, що для матриці А існує обернена матриця ?. Тоді А? =Е. Звідси, за теоремою про множення визначників , тобто . Тому , і, отже, матриця А — невироджена.

Достатність. Нехай матриця А — невироджена. Тоді, як випливає з рівностей (2), матриця

є оберненою до матриці А.

Матрицю, обернену до матриці А, позначають символом А^-1. Доведемо, що для будь-якої невиродженої матриці А існує тільки одна обернена матриця А^-1. Справді, якщо матриця С така, що АС = СА = Е, то

САА^-1 = (СA)А^-1 = ЕА^-1= А^-1,

САА^-1 = С(AА^-1) = CЕ= C,

і отже, С=А^-1. Таким чином, для кожної невиродженої матриці A=(a_ik) існує, і притому тільки одна, обернена матриця

(3)

Співвідношення (3) називають формулою оберненої матриці. Якщо матриця А невироджена, то обернена до неї матриця А^-1 також невироджена. Справді, з рівності АА^-1=Е і теореми про множення визначників випливає, що ; тому матриця А^-1 також невироджена. Оберненою до матриці А^-1, очевидно, є матриця А.

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Обернена матриця.

2. Неособлива матриця

Література

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

Урок №___ 5 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Обчислення кубічного кореня _______

Питання: 1. Спрощення і обчислення ірраціональних виразів.

2. Оцінки для радикалів

За допомогою властивостей коренів можна спрощувати й обчислювати ірраціональні вирази.

Приклад. Обчислити вираз

Виконаємо послідовно дії:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Приклад. Обчислити вираз:

Ø Виконаємо дії.

Часто використовується формула подвійного радикала:

(8)

Приклад.За формулою (8) знаходимо:

Приклад. Обчислити вираз

Ø За формулою (8) знаходимо:

Остаточно дістаємо:

Аналогічно обчислюються кубічні корені. Маємо:

Підносимо обидві частини рівності до куба:

Порівнюючи вирази при , дістаємо однорідну систему рівнянь:

Поділивши рівняння почленно, приходимо до рівняння для :

Приклад. Обчислити значення радикала

Ø Після піднесення до куба рівняння приходимо до системи рівнянь:

Поділивши почленно перше рівняння на друге, дістанемо рівняння для :

За схемою Горнера знаходимо корінь .

Із системи рівнянь і рівняння знаходимо . Отже, .

Приклад. Обчислити .

Ø Візьмемо . Підносячи обидві частини рівняння до куба, дістаємо , звідки випливає система рівнянь

Система рівнянь має очевидний розв’язок .

Тому . Обчислюємо радикал

Остаточно маємо .

Приклад. Обчислити .

Ø Оскільки , то . Далі маємо:

Отже, .

Приклад. Обчислити вираз .

Ø Піднесемо рівняння до куба, скориставшись рівністю .

Дістали для кубічне рівняння

,
або ,

має корені .

У множині дійсних чисел маємо корінь, .

Оцінки для радикалів

Якщо то , або

. (1)

Цю нерівність можна використовувати для доведення нерівностей, що містять радикали.

Приклад. Довести, що .

Ø Піднісши нерівність до шостого степеня, дістанемо очевидну нерівність

Можна перетворювати радикали до одного й того самого показника степеня:

Оскільки , то .

Приклад. Оцінимо .

Ø Оскільки , то . Отже, .

При перетворенні нерівностей можна використовувати символ V, розуміючи під ним знаки «», «», чи «».

Приклад. Яке число більше чи .

Ø ,

Оскільки , то .

Розглянемо деякі класичні нерівності, які широко застосовуються в математиці.

Наведемо нерівність Коші

(2)

і загальнішу нерівність

. (3)

Нерівність Коші-Буняковського:

. (4)

При дістаємо нерівність

Якщо , то маємо оцінку

Приклад. При маємо оцінку

Наближене значення обчислюють за формулою

. (5)

Приклад. Знайти значення за формулою (5).

Ø Нехай . Знаходимо послідовно при :

Отже .

Для відшукання можна скористатися методом Ньютона розв’язування рівняння . Дістаємо обчислювальну схему:

. (6)

Приклад. Знайдемо .

Ø За формулою (6) маємо

Виконуємо рівняння:

Отже, .

Аналогічно можна знайти корені будь-якого степеня. Зауважимо, що, як правило, корені не можна точно виразити десятковим дробом. Зазвичай корені є ірраціональними числами, тобто їх не можна подати дробом , де — цілі числа.

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Спрощення і обчислення ірраціональних виразів.

2. Оцінки для радикалів

Література

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

Урок №___ 8 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Обчислення значень раціональних дробів _______

Питання: 1. Приведення раціональних дробів до спільного знаменника

2. Додавання і віднімання раціональних дробів.

3. Множення і ділення раціональних дробів.

Дріб, числівник і знаменник якого є многочленами, називається раціональним (алгебраїчним).

Наприклад,

; ; ;

є раціональними або алгебраїчними дробами.

Область припустимих значень (ОПЗ) алгебраїчного дробу є множина всіх числових наборів, що відповідають набору многочленів P та Q, для кожного з яких значення многочлена Q не дорівнює нулю.

Наприклад,

(ОПЗ) алебраїчного дробу є множина всіх числових наборів, відповідаючих її буковному наборові (a, b, c) таких що

Два раціональні дроби та тотожньо рівні на множині М, якщо на множині М справедлива рівність PB=QA, за умови, що многочлени Q та B не дорівнюють нулю.

Справедлива тотожня рівність

для так як для них виконується

Основна властивість дробу виражена тотожністю, яка справедлива за умов, де R – цілий раціональний вираз (многочлен, одночлен або число).

Приведення раціональних дробів до спільного знаменника.

Скоротити дріб – це означає розділити числівник і знаменник дробу на спільний множник. Можливість такого скорочення обумовлена основною властивістю дробу.

Спільним знаменником декілька раціональних дробів називається цілий раціональний вираз, який ділиться на знаменник кожного дробу.

Для того, щоб декілька раціональних дробів привести до спільного знаменника, потрібно:

1. Розкласти знаменник кожного дробу на множники;

2. Скласти загальний знаменник, включивши в нього в якості співмножників всі множники одержаних розкладів; якщо множник є в декількох розкладах, то він береться з найбільшим показником ступеню;

3. Знайти додаткові множники для кожного з дробів (для цього спільний знаменник ділять на знаменник дробу);

4. Домноживши числівник і знаменник на додатковий множник, привести дроби до спільного знаменника.

Додавання і віднімання раціональних дробів.

Сума двох (любої скінченної кількості) раціональних дробів з однаковими знаменниками дорівнює дробу з тим же знаменником і з числівником, що дорівнює сумі числівників дробів-доданків:

Аналогічно і в випадку віднімання дробів з однаковими знаменниками:

Для додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками потрібно привести дроби до спільного знаменника, а потім виконати операції над дробами з однаковими знаменниками.

Наприклад:

Спростити вираз:.

Розв”язок.

Множення і ділення раціональних дробів.

Добуток двох (любої скінченної кількості) раціональних дробів тотожньо дорівнює дробу, числівник якого дорівнює добутку числівників, а знаменник – добутку знаменників дробів-співмножників:

Частка від ділення двох раціональних дробів тотожньо дорівнює дробу, числівник якого дорівнює добутку числівника першого дробу на знаменник другого дробу, а знаменник - добутку знаменника першого дробу на числівник другого дробу:

Наприклад:

Виконати множення.

Розв”язок.

Піднесення раціонального дробу до степеня.

Для того, щоб піднести раціональний дріб до натурального степеню n, треба піднести до цього степеня окремо числівник і знаменник дробу. Перший вираз – числівник, другий вираз – знаменник результата..

При піднесенні дробу до цілого від”ємного степеня використовуємо тотожність

яка справедлива при будь-яких значеннях змінних.

Перетворення раціональних виразів

Перетворення будь-якого раціонального виразу можна звести до додавання, віднімання, множення та ділення раціональних дробів, а також до піднесення дробу до натурального степеня. Будь-який раціональний вираз можна перетворити на дріб, числівник і знаменник якого – цілі раціональні вирази; в цьому, як правило, є ціль тотожніх перетворень раціональних виразів.

Наприклад:

Спростити вираз

Розв”язок.

О. П. З.: .

;

3. ;

;

5. .

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Приведення раціональних дробів до спільного знаменника

2. Додавання і віднімання раціональних дробів.

3. Множення і ділення раціональних дробів.

Література

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

Урок №___ 9 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Обчислення значень полінома і раціональних дробів по схем Горнера _

Питання: 1. Схема Горнера

Схема Горнера

Схема Горнера - алгоритм обчислення значення многочлена, записаного у вигляді суми Мономах, при заданому значенні змінної. Метод Горнера дозволяє знайти коріння многочлена.

Qn (x) = anxn + an-1xn-1 +... + A1x + a0

Нехай потрібно обчислити значення даного многочлена при фіксованому значенні x = x0. Уявімо многочлен Qn (x) в наступному вигляді:

Qn (x) = ((... (anx + an-1) x +... a2) x + a1) x + a0

Визначимо наступну послідовність:

…

Шукане значення Qn (x0) = b0. Покажемо, що це так.

В отриману форму запису Qn (x) підставимо x = x0 і будемо обчислювати значення виразу, починаючи з внутрішніх дужок. Для цього будемо замінювати подвираженія через bi:

Qn (x0)

Схема Горнера також є простим алгоритмом для поділу многочлена на біном, виду (x - c),

При розподілі многочлена anxn + an-1xn-1 +... + A1x + a0 на (x - c) виходить многочлен (xc) (bn-1xn-1 + bn-1-2xn-2 +... b1x + b0) + r

Якщо r = 0, то з-корінь многочлена

Опис загального алгоритму

Користувач вводить коефіцієнти, які можуть бути представлені

- Простими дробами;

- Змішаними числами.

- Кінцевими і нескінченними десятковими дробами;

Перетворюємо коефіцієнти в звичайні дроби і створюємо динамічний масив коефіцієнтів {a} i = 0; n

Для знаходження коренів многочлена перетворимо його в многочлен виду

Qn (x) = (xn + xn-1 +... +) = (anxn + an-1xn-1 +... + a0), (1.2)

де z - НОК (найменше спільне кратне) для (kn; kn-1;...; k0).

Для подальшого знаходження коренів використовуємо Теорему про раціональні коріння многочлена. У масиві Х зберігатимуться подільники а0, в масиві У - подільники аn.

Коріння будемо шукати перебором

x1, x2,..., xm x1 x1 x1 x2 x2 x2

y1, y2,.., ym, по черзі y1, y2,..., ym, потім y1, y2,..., ym, і так далі.

Значення кожного кандидата підставляємо в многочлен і обчислюємо його значення, якщо воно дорівнює 0, тоді цей кандидат є коренем многочлена, якщо ні, то видаємо повідомлення, про те, що у даного многочлена коренів немає.

Потім ділимо даний многочлена на біном (xc), де с - знайдений корінь, за схемою Горнера. Отримуємо новий многочлен (xc)

(Bn-1xn-1 + bn-1-2xn-2 +... b1x + b0).

Тепер шукаємо корінь многочлена

(Bn-1xn-1 + bn-1-2xn-2 +... b1x + b0)

цим же способом. Продовжуємо це до тих поки, ступінь многочлена не стане рівною 1, у многочлена 1 ступеня знаходимо корінь, але подальшого розподілу не виробляємо.

Питання для контролю вивченого матеріалу:

1. Схема Горнера

Література

4. Дубровская Н.С.. Численные методы: Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1976. 363c.

5. Дежидович Б П.. Марон И.А Основы вычислительной математики. - М: Издательство ФМЛ, I960. 659с,

6. Демидов Б Л.. Марон И. А. Шувалова Численные методы анализа.: Издательство ФМЛ, 1963. 400с.

Урок №___ 13 ____

(згідно робочої навчальної програми)

Тема: ___ Обчислення значень гіперболічних функцій _

Питання: 1. Гіперболічні функції

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒

Поделиться с друзьями:

mylektsii.su - Мои Лекции - 2015-2024 год. (0.091 сек.)Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав Пожаловаться на материал