Гіперболічні функції

Функції, задані формулами називають відповідно гіперболічним косинусом і гіперболічним синусом.

Ці функції визначені й безперервні на , причому - парна функція, а - непарна функція.

Малюнок 1.1 - Графіки функцій

З визначення гіперболічних функцій і треба, що:

За аналогією із тригонометричними функціями гіперболічні тангенс і котангенс визначаються відповідно формулами

Функція визначена й безперервна на , а функція визначена й безперервна на множині з виколотою крапкою ; обидві функції - непарні, їхні графіки представлені на малюнках нижче.

Малюнок 1.2 - Графік функції

Малюнок 1.3 - Графік функції

Можна показати, що функції й - строго зростаючі, а функція - строго убутна. Тому зазначені функції оборотні. Позначимо зворотні до них функції відповідно через .

Розглянемо функцію, зворотну до функції , тобто функцію . Виразимо неї через елементарні. Вирішуючи рівняння відносно , одержуємо Тому що , те , звідки

Заміняючи на , а на , знаходимо формулу для функції, зворотної для гіперболічного синуса:

Зауваження. Назва " гіперболічні функції" пояснюється тим, що рівняння можна розглядати як параметричні рівняння гіперболи . Параметр у рівняннях гіперболи дорівнює подвоєної площі гіперболічного сектора. Це відбито в позначеннях і назвах зворотних гіперболічних функцій, де частка є скорочення латинського (і англійського) слова “ ” - площа.