Занятие 12-13. Нахождение функции по ее полному дифференциалу. Производная сложной и неявной ФНП. Производная по направлению и градиент ФНП.

Уравнения в полных дифференциалах. Дифференциальное уравнение 1-го порядка вида Р (х, y) dx + Q (x, y) dy = 0 (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции U (х, у).

Для того чтобы уравнение (1) было уравнением в полных диф­ференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ,

Если уравнение (1) есть уравнение в полных дифференциалах, то оно может быть записано в виде dU (x, y) = 0.

Общий интеграл этого уравнения: U (x, y) = C, где С ‑ произвольная постоянная.

Функция U (x, у)может быть найдена следующим образом. Инте­грируя равенство по x при фиксированном у и замечая, что произвольная постоянная в этом случае может зависеть от у, имеем (2). Затем из равенства находим функцию , подставив которую в (2), получим функцию U (x, у).

Очевидно, что искомая функция U (x, у)определена с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Для записи общего интеграла исходного уравнения достаточно выбрать одну из функций получаемого семейства. Другой методотыскания функции U (x, у)состоит в вычислениикриволинейного интеграла 2-го рода.

Сложные функции одной и нескольких независимых переменных. Если u = f (x ₁, x ₂,..., x_n) ‑ дифференцируемая функция переменных x ₁, x ₂,..., x_n, которые сами являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t: , ,..., , то производная сложной функции вычисляется по формуле

В частности, если t совпадает, например, с переменной x_n, то полная производная функции и по x ₁, равна

Неявные функции одной и нескольких независимых переменных. Пусть уравнение f (x, y) = 0, где f ‑ дифференцируемая функция переменных x и y, определяет у как функцию х. Первая производная этой неявной функции у = у (х)в точке x ₀ выражается по формуле при условии, что , где у ₀ = у (х ₀) f (x ₀, y ₀) = 0.

Производная по направлению и градиент скалярного поля. Пусть s = (cos α, cos β, cos γ) ‑ единичный вектор данного направления s, r ₀ = x ₀ i + y ₀ j + z ₀ k ‑ радиус-вектор точки Р ₀(х ₀, y ₀, z ₀).

Производная скалярного поля и (Р)в точке Р₀ по направлению s, обозначаемая через , определяется соотношением

и характеризует скорость изменения функции и (Р)внаправлении s. Производная вычисляется по формуле

Градиентом скалярного поля u (P), обозначаемым символом grad и, называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствующие частные производные функции и (Р), т. е.

Аналогично определяется производная по направлению и градиент для n -мерных скалярных полей.

Задачи

Решить дифференциальные уравнения, предварительно убедившись, что они являются уравнениями в полных дифференциалах:

9.98.

9.100. . 9.102.

7.129. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

7.135. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

Найти производные от следующих полей в заданных точках по заданному направлению:

10.31. u = x ² + y ²/2 в точке P ₀(2, − 1) по направлению вектора P ₀ P ₁, где P ₁(6, 2).

10.33. в точке P ₀(1, 3, 2, − 1) по направлению вектора a = 2 e ₁ + e ₂ − 2 e ₄.

10.35. Найти производную скалярного поля в точке P (a, b, c) по направлению радиус-вектора этой точки.

10.37. Найти скорость и направление наибыстрейшего возрастания поля и = xyz в точке Р ₀(1, 2, 2).

10.39. Найти стационарные точки поля и = 2 х² ‑ 4 хy + y ² ‑ 2 yz + 6 z.

Убедиться в ортогональности линий уровня полей:

10.41. и = 2 x ² ‑ y ², v = у ² /х.

Убедиться в ортогональности поверхностей уровня следующих полей:

10.43. u = x ² + y ² ‑ 2 z ², v = xyz.

Домашнее задание 9.97, 9.99, 9.104, 7.116, 7.118, 7.123, 7.130, 7.136, 7.140, 7.146, 7.150, 7.151; 10.32–10.44 (четн.).

9.97.

9.99. 9.104.

7.130. Показать, что функция удовлетворяет уравнению .

7.136. Показать, что функция удовлетворяет уравнению

10.32. и = 0.5 х ² ‑ у ² + z в точке P ₀(2, 1, 1) по направлению прямой в сторону возрастания поля.

10.34. Найти производную скалярного поля и = 1 /| r | по направлению его градиента.

10.36. Найти угол между градиентами поля в точках P ₁(2, 3, − 1) и P ₂(1, − 1, 2).

10.38. Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня поля в точке P ₀(1, 1, − 1), направленный в сторону возрастания поля.

10.40. и = х ² − у ², v = xy. 10.42. и = x ² + у² − z ², v = xz + yz.

10.44. , , .

Ответы: