![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Дифференциал первого и второго порядка ФНП.
Занятие 11. Частные производные 1-го порядка. Частные производные высших порядков. Дифференциал первого и второго порядка ФНП. Частные производные. Пусть (x 1,..., хk,..., xn) − произвольная фиксированная точка из области определения функции u = f (x 1,..., хn). Придавая значению переменной хk (k = 1, 2,..., п)приращение Этот предел называется частной производной (1-го порядка)данной функции по переменной xk в точке (x 1,..., хk,..., xn) и обозначается Частые производные вычисляются по обычным правилам и формулам дифференцирования (при этом все переменные, кроме хk, рассматриваются как постоянные). Частными производными 2-го порядка функции u = f (x 1,..., хn) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Производные второго порядка обозначаются следующим образом: и т. д. Аналогично определяются и обозначаются частные производные Порядка выше второго. Результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от очередности дифференцирования при условии, что возникающие при этом «смешанные» частные производные непрерывны. Дифференциал функции и его применение. Полным приращением функции u = f (x 1,..., хn)в точке P (x 1,..., хn). соответствующим приращениям аргументов Функция и = f (Р)называется дифференцируемой в точке (x 1,..., хn), если всюду в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде где Дифференциалом du 1 -го порядка функции u = f (x 1,..., хn)в точке (x 1,..., хn)называется главная часть полного приращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно Дифференциалы независимых переменных равны их приращениям:
Для дифференциала функции u = f (x 1,..., хn)справедлива формула Дифференциалом 2-го порядка d2u функции u = f (x 1,..., хn)называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассматриваемого как функция переменных x 1,..., хn при фиксированных значениях dx 1,.., dхn: d 2 u = d (du). Аналогично определяется дифференциал m -го порядка: dmu = d (dm ‑ 1 u). Дифференциал т- гoпорядка функции u = f (x 1,..., хn), где x 1,..., хn ‑ независимые переменные, выражаемся символической формулой которая формально раскрывается по биномиальному закону. Задачи Найти частные производные первого и второго порядков от заданных функций: 7.55. z = x 5 + y 5 − 5 x 3 y 3. 7.57. 7.66. Найти f'x (3, 2), f'y (3, 2), f''xx (3, 2), f''xy (3, 2), f'yy (3, 2), если f (x, y) = x 3 y + xy 2 ‑ 2 x + 3 y ‑ 1. 7.87. Найти полное приращение и дифференциал функции z = x 2 ‑ ху + y 2, если x изменяется от 2 до 2, 1, а у ‑ от 1 до 1, 2. Найти дифференциалы функций: 7.89. Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков следующих функций (x, у, z ‑ независимые переменные): 7.103. Проверить функцию Домашнее задание 7.56, 7.58, 7.59, 7.62, 7.64, 7.67, 7.88, 7.90, 7.92, 7.102, 7.107. 7.56. 7.88. Найти полное приращение и дифференциал функции z = lg(x 2 + y 2), если x изменяется от 2 до 2, 1, а у ‑ от 1 до 0, 9. 7.90. 7.102. Ответы
|