Дифференциал первого и второго порядка ФНП.

Занятие 11. Частные производные 1-го порядка. Частные производные высших порядков.

Дифференциал первого и второго порядка ФНП.

Частные производные. Пусть (x ₁,..., х_k,..., x_n) − произвольная фиксированная точка из области определения функции u = f (x ₁,..., х_n). Придавая значению переменной х_k (k = 1, 2,..., п)приращение рассмотрим предел

Этот предел называется частной производной (1-го порядка)данной функции по переменной x_k в точке (x ₁,..., х_k,..., x_n) и обозначается или .

Частые производные вычисляются по обычным правилам и формулам дифференцирования (при этом все переменные, кроме х_k, рассматриваются как постоянные).

Частными производными 2-го порядка функции u = f (x ₁,..., х_n) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Производные второго порядка обозначаются следующим образом:

и т. д. Аналогично определяются и обозначаются частные производные Порядка выше второго. Результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от очередности дифференцирования при условии, что возникающие при этом «смешанные» частные производные непрерывны.

Дифференциал функции и его применение. Полным приращением функции u = f (x ₁,..., х_n)в точке P (x ₁,..., х_n). соответствующим приращениям аргументов , ,..., называется разность

Функция и = f (Р)называется дифференцируемой в точке (x ₁,..., х_n), если всюду в некоторой окрестности этой точки полное приращение функции может быть представлено в виде

где , A ₁, A ₂,..., A_n ‑ числа, не зависящие от , ,..., .

Дифференциалом du 1 -го порядка функции u = f (x ₁,..., х_n)в точке (x ₁,..., х_n)называется главная часть полного приращения этой функции в рассматриваемой точке, линейная относительно , ,..., , т. е.

Дифференциалы независимых переменных равны их приращениям:

, ,...,

Для дифференциала функции u = f (x ₁,..., х_n)справедлива формула

Дифференциалом 2-го порядка d²u функции u = f (x ₁,..., х_n)называется дифференциал от ее дифференциала 1-го порядка, рассматриваемого как функция переменных x ₁,..., х_n при фик­сированных значениях dx ₁,.., dх_n:

d ² u = d (du).

Аналогично определяется дифференциал m -го порядка:

d^mu = d (d^{m ‑ 1} u).

Дифференциал т- гoпорядка функции u = f (x ₁,..., х_n), где x ₁,..., х_n ‑ независимые переменные, выражаемся символической формулой

которая формально раскрывается по биномиальному закону.

Задачи

Найти частные производные первого и второго порядков от заданных функций:

7.55. z = x ⁵ + y ⁵ − 5 x ³ y ³. 7.57. 7.60. z = y^x. 7.61. . 7.63.

7.66. Найти f'_x (3, 2), f'_y (3, 2), f''_xx (3, 2), f''_xy (3, 2), f'_yy (3, 2), если f (x, y) = x ³ y + xy ² ‑ 2 x + 3 y ‑ 1.

7.87. Найти полное приращение и дифференциал функции z = x ² ‑ ху + y ², если x изменяется от 2 до 2, 1, а у ‑ от 1 до 1, 2.

Найти дифференциалы функций:

7.89. . 7.91.

Найти дифференциалы 1-го и 2-го порядков следующих функций (x, у, z ‑ независимые переменные):

7.103. . 7.105. .

Проверить функцию на дифференцируемость в точке (0, 0).

Домашнее задание 7.56, 7.58, 7.59, 7.62, 7.64, 7.67, 7.88, 7.90, 7.92, 7.102, 7.107.

7.56. . 7.58. . 7.59. . 7.62. . 7.64. . 7.67. Найти f'_x (1, 2), f'_y (1, 2), f''_xx (1, 2), f''_xy (1, 2), f'_yy (1, 2), если .

7.88. Найти полное приращение и дифференциал функции z = lg(x ² + y ²), если x изменяется от 2 до 2, 1, а у ‑ от 1 до 0, 9.

7.90. . 7.92.

7.102. . 7.107.

Ответы