Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Можно находить пересечение и объединение трех множеств, зная, как это делается для двух;
|
|
2) на основании этого свойства в выражениях (А Ç B) Ç С, A Ç (ВÇ С), (A È B) È С, A È (B È С) можно опускать скобки и писать А Ç B Ç С или A È B È С, что облегчает запись.
Рассмотрим строгое доказательство свойства ассоциативности одной из операций над множествами, например объединения, т.е. докажем, что для любых множеств А, В и С справедливо равенство (A È B) È С = A È (B È С).
Доказательство. Чтобы доказать равенство двух множеств, надо убедится в том, что каждый элемент множества (A È B) È С содержится в множестве A È (B È С), и наоборот.
1. Пусть х – любой элемент множества (A È B) È С. Тогда, по определению объединения, х Î A È B или хÎ С.
Если х Î A È B, то, по определению объединения, х Î А или х Î В. В том случае, когда х Î А, то, также по определению объединения, х Î A È (B È С).
Если х Î В, то имеем, что х Î B È С, а значит, х Î A È (B È С). Случай, когда х Î А и х Î В, сводится к рассмотренным. Таким образом, из того, что х Î A È B, следует, что х Î A È (B È С).
Если х Î С, то, по определению объединения, х Î В È С, и следовательно, х Î A È (B È С).
Случай, когда х Î A È B и х Î С, сводится к рассмотренным выше.
Итак, мы показали, что каждый элемент множества (A È B) È С содержится и в множестве A È (B È С), т.е. (A È B) È С Ì A È (B È С).
2. Пусть у - любой элемент множества A È (B È С). Тогда, по определению объединения, уÎ А или уÎ B È С.
Если у Î А, то, по определению объединения, у Î A È (B È С).
Если у Î B È С, то у Î B или уÎ С. В том случае, когда у Î B, то уÎ AÈ B и, значит, уÎ (A È B) È С. Когда же у Î С, то у Î (A È B) È С. Случай, когда у Î В и у Î С, сводится к уже рассмотренным.
Итак, мы показали, что каждый элемент множества A È (B È С) содержится и в множестве (A È B) È С, т.е. A È (B È С) Ì (A È B) È С.
Согласно определению равных множеств заключаем, что (A È B) È С = A È (B È С), что и требовалось доказать.
Аналогично доказывается и ассоциативное свойство пересечения множеств.
Замечание. Взаимосвязь пересечения и объединения множеств отражается в распределительных, или дистрибутивных, свойствах этих операций. Таких свойств два:
1. Пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А È B) Ç С = (А Ç С) È (ВÇ С).
2. Объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняется равенство (А Ç B) È С = (А È С) Ç (В È С).
Замечание. Если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение.