Тема 5. Отношения на множестве

Содержание

1. Понятие отношения между элементами одного множества.

2. Способы задания отношений.

3. Свойства бинарных отношений.

4. Отношение эквивалентности. Отношение порядка.

Основная литература [7, 10, 11, 16, 23, 33, 34];

Дополнительная литература [1, 10, 14, 74]

Понятие отношения между элементами одного множества

В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения между ними.

Отношения многообразны. Между понятиями – это отношения рода и вида, части и целого; между предложениями – отношения следования и равносильности; между числами – «больше», «меньше», «равно», «больше на…», «следует» и др.

Изучение отношений между объектами важно для познания как самих объектов, так и для познания реального мира в целом. В нашем курсе мы будем рассматривать в основном бинарные отношения, т.е отношения между двумя элементами, но чтобы увидеть общность методических подходов к изучению в начальном курсе математики конкретных отношений, понять важнейшие математические идеи, связанные с отношениями, учителю полезно знать, какова математическая сущность любого отношения, какими свойствами они могут обладать, какие основные виды отношений изучает математика.

Чтобы определить общее понятие отношения на множестве, рассмотрим сначала конкретный пример. Пусть на множестве Х = {2, 4, 6, 8} задано отношение «меньше». Это означает, что для любых двух чисел из множества Х можно сказать, какое из них меньше: 2< 4, 2 < 6, 2 < 8, 4 < 6, 4 < 8, 6 < 8. Но все эти пары есть элементы декартова произведения Х´ Х, поэтому об отношении «меньше», заданном на множестве Х, можно сказать, что оно является подмножеством множества Х´ Х.

Определение. Отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х´ Х.