Производные

Функция	Производная

Правила дифференцирования функций:

1) производная от произведения

2) производная от частного

3) производная от суммы

4) производная от сложной функции

Алгоритм решения 12 задания:

1. Находим производную функции

2. Приравниваем производную функции к нулю

3. Решаем получившееся уравнение и находим корни (Х₁, Х₂…Х_n)

4. Отмечаем полученные корни на числовой прямой, и получаем несколько интервалов

5. Определяем знаки (±) производной на каждом интервале, подставляя удобные значения Х в производную

6. Определяем на каком интервале функция возрастает/убывает (там, где производная положительная (+) - функция возрастает, там, где производная отрицательна (-) – убывает)

7. Определяем какие корни (Х₁, Х₂…Х_n) являются точками максимума/минимума (тот Х, где возрастание функции меняется на убывание – точка максимума, тот Х, где убывание функции меняется на возрастание – точка минимума)

8. если задание найти точку максимума/минимума, то записываем ответ нужный корень уравнения

9. если задание найти наибольшее/наименьшее значение функции, то смотрим, входит ли наша точка максимума/минимума в указанный в задании промежуток

10. если входит, то подставляем получившуюся точку максимума/минимума в функцию вместо X и считаем

11. если не входит, то подставляем границы указанного промежутка в функцию вместо X и считаем, получаем два числа и выбираем большее/меньшее из них в зависимости от того, наибольшее или наименьшее значение функции надо найти

Теория для 7 задания:

Чтобы из функции расстояния получить функцию скорости, надо взять производную от функции расстояния: V(t)=(x(t))^’

Значение производной в точке касания равно тангенсу угла наклона касательной (угол между касательной и правой частью оси Х) или значению k в уравнении касательной (коэффициент k в функции касательной y=kx+b):

Чтобы прямые были параллельны, коэффициенты k в их функциях должны быть равны

Точки экстремума (минимума и максимума) – значения Х, при которых функция достигает наименьшего или наибольшего значения.

Производная функции в точках экстремума равна 0

Функция возрастает на интервале, где производная положительна

Функция убывает на интервале, где производная отрицательна

Точка максимума – значения Х, в которых возрастание функции меняется на убывание

Точка минимума – значения Х, в которых убывание функции меняется на возрастание

Геометрический смысл интеграла – площадь криволинейной трапеции

Нахождение первообразной есть обратное действие для нахождения производной, поэтому y(x)=F(x), а y’(x)=f(x). Получается, что f(x)=0, там, где F(x) достигает минимума и максимум.