![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Биения.
Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний, происходящих вдоль одной прямой с частотами ω 1 и ω 2, незначительно отличающихся друг от друга. (Ω =(|ω 1 - ω 2 |< < ω 1 и Ω < < ω 2 ).Пусть в начальный момент времени фазы складываемых колебаний одинаковы. Тогда эти колебания запишутся в виде
Найдем сумму двух таких колебаний, предположив для простоты сначала, что их амплитуды одинаковы (A 1 = A 2):
Рис. 3. Отсюда видно, что результирующее колебание (биение) происходит с частотой (ω 1+ω 2)/2, а амплитуда колебаний со временем изменяется в пределах от 2 A 1 до 0 по закону ν б = 1/Tб = |ν 1 - ν 2 |, где ν 1 и ν 2- частоты складываемых колебаний.
Если амплитуды складываемых колебаний не равны (A 1 # A 2), то максимальное значение амплитуды результирующего колебания равно A 1+ A 2, а минимальное - А 1- А 2. В этом случае биения выражены менее четко (рис.4). Частоты Ω, ν б и период Tб определяются разностью частот складываемых колебаний и не зависят от их амплитуд и начальных фаз. Сложение колебаний во взаимно перпендикулярных направлениях.
Представим две взаимно перпендикулярные векторные величины x и y, изменяющиеся со временем с одинаковой частотой ω по гармоническому закону
где ex и eу — орты координатных осей x и y, А и B — амплитуды колебаний. Величинами x и у может быть, например, смещения материальной точки (частицы) из положения равновесия. В случае колеблющейся частицы величины
определяют координаты частицы на плоскости xy. Частица будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности фаз обоих колебаний. Выражения (6) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение этой траектории. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (6) параметр t. Из первого уравнения следует, что
Соответственно
Развернем косинус во втором из уравнений (6) по формуле для косинуса суммы:
Подставим вместо cosω tи sinω t их значения (3) и (4):
Преобразуем это уравнение
Это уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и его полуоси зависят довольно сложным образом от амплитуд A и В и разности фаз α.
Попробуем найти форму траектории для нескольких частных случаев.
1. Разность фаз α равна нулю. В этом случае уравнение (10) упрощается следующим образом:
Отсюда получается уравнение прямой: Результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль этой прямой с частотой ω и амплитудой, равной
2. Разность фаз α равна ±π. Уравнение (10) имеет вид
Следовательно, результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой
Рис.5. 3. Разность фаз Уравнение (10) переходит в уравнение эллипса, приведенного к координатным осям:
Рис.6.
Полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс превращается в окружность. Случаи Следовательно, равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью ω может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:
(знак плюс в выражении для у соответствует движению против часовой стрелки, знак минус — движению по часовой стрелке).
Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектории результирующего движения имеют вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.
Рис.7. Фигура Лиссажу для отношения частот 1: 2 и разности фаз π /2
Рис.8. Фигура Лиссажу для отношения частот 3: 4 и разности фаз π /2
Наблюдать биения и фигуры Лиссажу можно с помощью электронного осциллографа и звуковых генераторов.
|