Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования(1 рода)

Вопрос. Несобственные интегралы 1 и 2 рода. Теоремы сходимости

При определении интеграла

(1)

предполагалось, что: 1) отрезок интегрирования [a, b] конечен и 2) подынтегральная функция f(x) на этом отрезке непрерывна. Такой определенный интеграл называется интегралом в " собственном смысле", или собственным интегралом. В том же случае, когда отрезок интегрирования бесконечен или конечен, но подынтегральная функция на этом отрезке терпит разрыв, то (1) называется интегралом в " несобственном смысле" или несобственным интегралом.

Несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования(1 рода)

Пусть функция f(x) непрерывна при а ≤ x < +∞. Тогда по определению полагают

(2)

Если предел (2) существует, то несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования, стоящий в левой части равенства (2), называется сходящимся и его значение определяется формулой (2); в противном случае равенство (2) теряет смысл, несобственный интеграл, стоящий слева, называется расходящимся и ему не приписывается никакого числового значения.

Интеграл определяется аналогично:

(3)

а интеграл

(4)

при этом

(5)

где a - любое число.

Геометрически для неотрицательной на [ a, ∞ ] функции f (x) несобственный интеграл (2) представляет собой площадь криволинейной фигуры, ограниченной данной линией y = f (x), осью Ox и вертикалью x = a.

Пусть F(x) - первообразная функция для подынтегральной функции f(x). На основании (2) имеем

Если ввести условное обозначение

то получим для сходящегося несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом интегрирования обобщенную формулу Ньютона-Лейбница:

где F'(x) = f(x).