![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Розділ 4. Метод найменших квадратів
Метод найменших квадратів (МНК) використовують як у навчальному процесі, так і в інженерній практиці при обробці результатів за допомогою комп’ютера. Найчастіше студенти не знайомі з основами методу. Тому в даному розділі стисло подано математичну суть МНК, яка полягає в мінімізації суми квадратів відхилень S експериментальних точок
Подавши функцію
на основі (4.1) одержуємо:
Завдання полягає у відшуканні таких значень а k, при яких S мінімальна. Умовою мінімуму є рівність нулю часткових похідних від S по всіх аk:
При цьому вираз (4.2) є системою m +1 рівнянь для визначення аk:
Найпростішим є випадок, коли y = ax + b. (4.4) Система рівнянь (4.3) для залежності (4.4) має простий вигляд:
Розв’язуючи (4.5), знаходимо:
Додатково, на основі теорії кореляцій, для рівняння лінійної регресії вигляду (4.4) встановлюються середньоквадратичні помилки
а також коефіцієнт лінійного кореляційного зв’язку величин [ xi ] і [ yi ]:
При значенні ρ = 1 існує функціональний зв’язок між xi і yi. Експериментальні дані при цьому точно вкладаються на пряму вигляду (4.4). Розкид величин xi і yi, зумовлений помилками експерименту знижує коефіцієнт кореляції. Якщо ρ = 0, величини xi і yi повністю незалежні одна від одної. У деяких випадках залежність
система рівнянь (4.3) відносно a, b, c набирає вигляду:
Для розв’язання систем (4.5) і (4.12) складені універсальні програми. Перша з цих програм є основною – її можна використовувати при обробці результатів експерименту для більшості задач лабораторного практикуму, друга використовується значно рідше. Зауваження. Використання цих програм студентом відбувається в комп’ютерному класі в діалоговому режимі і не вимагає від студента додаткових знань з інформатики чи обчислювальної техніки.
|