Математическая модель решения задачи. Упругая призматическая балка (рис

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Упругая призматическая балка (рис. 1) имеющая глухую в конце О и подвергается действию сосредоточенной вертикальной силы F, приложенной к концу балки L на расстоянии от места закрепления. Поперечное сечение балки - квадрат со стороной а.

Исследовать прогибы балки y(x) при различных значениях силы P (весом балки пренебречь). Построить графики зависимостей y(x) в одних осях координат.

Исходные данные:

Длина стержня L=5м

Модуль упругости для стали

Сила

Сторона квадрата

Количество разбиений n=20

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

В качестве математической модели задачи используется дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

где М(x) – момент сил, приложенных к балке;

Е – модуль упругости;

J – момент инерции площади поперечного сечения балки;

В данном случае

,

начальные условия:

.

Задача Коши будет иметь вид

Преобразуем ее к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка с начальными условиями

Решение дифференциальных уравнений методом Эйлера.

Пусть задано дифференциальное уравнение первого порядка или =F(x, y)

На интервале [x₀, x_n] разобьём на n частей и получим x_{0, …,} x_n.

x_i=x₀+ или x_i=x_i-1+h₁, где .

Соответствующее значения y₁=y*(x_i), где y*(x_i) - приближенное значение дифференциального уравнения.

Для получения численного решения дифференциального уравнения уравнение заменяется уравнениями относительно значений функции y*(x). Эти уравнения называют разностными. Простейшие разностные уравнения для заданного дифференциального уравнения имеют вид

y_i+1=y_i+ -формула Эйлера.

Алгоритм метода Эйлера.

1)Ввод исходных данных (x₀, x_n, n, y₀).

2) ;

3) Для i=1, n

4.1.) x_i=x_i-1+h;

4.2) y_i=y_i-1+ ;

4) Для i=0, n

5.1)Вывод x_i, y_i.