Простір-час

Математичний апарат СТВ оперує з трьома просторовими вимірами Всесвіту та часом як з єдиною чотиривимірною сутністю — простором-часом, або простором Мінковського M. Окремі точки простору-часу символізують події, а фізичним об'єктам відповідають світові лінії, якщо ці об'єкти — точкові частинки, або світовими листами (площинами), якщо ці об'єкти є більшими за точку. Світова лінія або лист описує рух об'єкта (зміну його позиції в просторі-часі), але такий об'єкт може мати й інші фізичні характеристики, такі як енергія, імпульс, маса, заряд та інші.

Ще одним базовим поняттям спеціальної теорії відносності є інерціальний спостерігач (який може й не відповідати якомусь фізичному об'єктові). Кожний інерціальний спостерігач асоційований з інерціальною системою відліку, яка визначає систему координат для подій в просторі-часі M. Ця система також впроваджує формалізм для опису в координатній формі інших фізичних величин (так звані 4-вектори): для імпульсу та енергії, 4-тензори для електромагнітного поля тощо.

СТВ стверджує, що існує таке перетворення координат, яке встановлює відповідність між координатами однієї інерціальної системи відліку з іншою. Такі перетворення пропонують відповідні рівняння не тільки для просторово-часових координат, але й для енергії, імпульсу та інших фізичних величин.

З другого постулату СТВ випливає, що якщо A та B — дві події з координатами та в одній інерціальній системі відліку та відповідно і в іншій, то справедливе твердження:

,

тоді й тільки тоді, коли

.

У диференціальній формі це твердження еквівалентне інваріантності квадрату приросту просторово-часового інтервалу:

Другий постулат фактично твердить про те, що об'єкт, який рухається зі швидкістю c в одній інерціальній системі відліку, повинен рухатись з такою ж швидкістю у всіх інших інерціальних системах. Також це означає, що другий постулат може бути виведений з першого постулату та рівнянь Максвела.

Другий постулат може бути підсилений твердженням про інваріантність просторово-часового інтервалу у всіх інерціальних системах відліку. З цього випливає, що

для будь-яких двох подій A та B. З цього рівняння безпосередньо можуть бути виведені рівняння перетворень Лоренца.

Постулати СТВ можуть бути викладені за допомогою математичного формалізму псевдо-Ріманових многовидів. Зокрема, другий постулат еквівалентний тому, що чотиривимірний простір-час M є псевдо-Рімановим многовидом з Лоренцевою метрикою g спеціального виду, яка має назву метрики Мінковського. Така метрика залишається справедливою для будь-якої інерційної систем відліку та розглядається як певна фізична величина в СТВ і трансформується певним чином при переході з однієї системи відліку до іншої.

Перший постулат тоді еквівалентний твердженню про те, що усі закони фізики є інваріантними відносно систем відліку, в яких g є метрикою Мінковського.

Перевагою цього формулювання є те, що тепер стає зручнішим порівнювати спеціальну теорію відносності з загальною теорією відносності, в якій обидва постулати зберігаються, крім твердження про те, що метрика повинна залишатись метрикою Мінковського.

У класичній механіці, де , перший постулат залишається незмінним, але математична форма другого постулату змінюється на:

Якщо A та B — дві події з координатами та в одній інерціальній системі відліку , та з координатами і в іншій інерціальній системі відліку , то . Далі, якщо , то

.