Этапы метода анализа иерархий

1. Очертить проблему и определить, что мы хотим

2. Построить иерархию (цель, критерии, альтернативы)

3. Построить множество матриц парных сравнений для каждого из нижних уровней по одной матрице для каждого элемента примыкающего сверху уровня

4. Проверить индекс согласованности каждой матрицы

5. Использовать иерархический синтез для взвешивания собственных векторов

Основные определения и понятия

Иерархия есть определенный тип системы, основанный на предположении, что элементы системы могут группироваться в несвязанные множества. Элементы каждой группы находятся под влиянием элементов некоторой вполне определенной группы и, в свою очередь, оказывают влияние на элементы другой группы. Мы считаем, что элементы в каждой группе иерархии (называемой уровнем, кластером, стратой) независимы.

Основной задачей в иерархии является оценка высших уровней исходя из взаимодействия различных уровней иерархии, а не из непосредственной зависимости от элементов на этих уровнях.

Точные методы построения систем в виде иерархий постепенно появляются в естественных и общественных науках, и особенно в задачах общей теории систем, связанных с планированием и построением социальных систем. Концептуально, наиболее простая иерархия - линейная, восходящая от одного уровня элементов к соседнему уровню. Например, в процессе производства имеется уровень рабочих, доминируемый уровнем мастеров, который в свою очередь доминируется уровнем управляющих и т. д., до вице-президентов и президента. В нелинейной иерархии верхний уровень может быть как в доминирующем положении по отношению к нижнему уровню, так и в доминируемом (например, в случае потока информации).

Естественные системы, составленные иерархически, т. е. посредством модульного построения и затем сборки модулей, строятся намного эффективнее, чем системы, собранные в целом.

Иерархии устойчивы и гибки; они устойчивы в том смысле, что малые изменения вызывают малый эффект, а гибкие в том смысле, что добавления к хорошо структурированной иерархии не разрушают ее характеристик.

Преимуществом метода анализа иерархий над большинством существующих методов оценивания альтернатив является чёткое выражение суждений экспертов и ЛПР, а также ясное представление структуры проблемы: составных элементов проблемы и взаимосвязей между ними.

Иерархия строится следующим образом: сначала определяется цель принятия решения (фокус проблемы). Это высший уровень иерархии. Например, выбор наилучшего места работы, ВУЗа для учёбы и т.д. За фокусом следует уровень наиболее важных критериев (оплата труда, время, необходимое для проезда на работу, и т.д.). Каждый критерий может делиться на субкритерии. За субкритериями следует уровень альтернатив, число которых может быть достаточно большим. Декомпозиция проблемы в иерархию зависит от хода мысли ЛПР, его концепции решения проблемы, интуиции и опыта.

Рассмотрим упрощённую модель принятия решения о выборе места работы. Есть три места работы: А1, А2 и А3

При выборе работы учитываются четыре критерия: зарплата, удалённость от дома, перспективы карьерного роста и риск потери работы.

Полученная иерархия соответствует 3-уровневой полной иерархии с фокусом принятие решения. Иерархия называется полной, если между элементами соседних уровней имеются все возможные связи.

Рассмотрим другую проблему – подбор кандидата на вакантное место: трёх кандидатов оценивают два эксперта, каждый по своим двум критериям, а затем докладывают свои выводы руководству для принятия окончательного решения. В этом случае иерархия будет выглядеть следующим образом.

Полученная иерархия соответствует 4-х уровневой неполной иерархии с фокусом ПР. Но её можно свести к набору из двух полных трёхуровневых иерархий и одной двухуровневой: для этого нужно разрезать связи между фокусом и элементами С1 и С2.

Вывод: анализ неполных иерархий можно свести к анализу набора соответствующих полных иерархий.

Наиболее полные иерархии возникают при анализе проблем стратегического планирования. Стратегическое планирование – процесс формирования вероятностного будущего.

Уровни, возникающие при этом планировании следующие:

1. Устанавливается фокус проблемы

2. Устанавливаются экономические, политические и социальные причины, которые могут влиять на исход (иногда этот уровень опускают, переходя сразу к третьему)

3. Люди и организации (акторы), которые решают, какие действия, влияющие на экономическую, политическую и социальную ситуацию, предпринимать. К этому же уровню относятся и те, на кого влияют принимаемые решения.

4. Устанавливает цели каждого актора.

5. Средства достижения целей, которыми пользуются акторы (необязательный уровень)

6. Исходы, за которые борется каждый актор, как за результат реализации своих целей.

7. Обобщённый сценарий, который представляет собой результат реализации всех сценариев предыдущего уровня с учётом их веса. Обобщённый сценарий называется также логическим исходом.

Шкалирование. Как уже упоминалось в начале курса, в связи с особенностями человеческого мышления, лучше использовать для сравнения не более 7±2 объекта. Если таких объектов больше, то необходимо попробовать сгруппировать их. Затем сравнивать группы, а затем объекты внутри группы, если это необходимо.

Наиболее распространённой на сегодняшний день в методе анализа иерархий является следующая шкала:

· Если объект А и В одинаково важны, то их отношение записывается в виде 1

· Если А незначительно важнее В, то в качестве отношения А/В используют 3 (слабое предпочтение)

· Если А значительно важнее В – 5 (предпочтительнее)

· Если А явно важнее В (сильное предпочтение) – 7

· Если А по своей значимости абсолютно предпочтительнее В -9.

Такая шкала появилась в результате большой работы многих специалистов из различных областей знаний и была проверена на многих практических задачах, где давала очень хорошие результаты.

Числа 2, 4, 6 и 8 используются для облегчения компромисса между оценками. Можно попросить провести сравнение каких-либо объектов по этой шкале и попытаться проверить согласованность оценок.

Понятно, что эти оценки различны для разных людей.

8. Математический аппарат метода анализа иерархий.

Одним из способов практического сравнения объектов, действий или обстоятельств для их количественной оценки является построение матрицы (таблицы) попарных сравнений. Пусть даны объекты А, В, С и т.д. Рассмотрим матрицу попарных сравнений этих объектов

В этой таблице а₁₂ – отношение важности объекта А по сравнению с В, а₁₃ - отношение важности объекта А по сравнению с С и т.д.

Вспомним несколько определений из курса математики.

Матрица А называется положительной, если:

Матрица А называется обратносимметричной, если:

Матрица А является согласованной, если:

Собственным вектором матрицы A называется такой ненулевой вектор , что для некоторого :

Собственным значением матрицы A называется такое число , для которого существует собственный вектор , то есть уравнение имеет ненулевое решение.

Теорема. Положительная обратносимметричная матрица согласована тогда и только тогда, когда , где -максимальное собственное значение матрицы, а n-размерность матрицы.

Проанализируем свойства идеальной матрицы парных сравнений (то есть все соотношения оценены идеально).

1. Для любого i справедливо а_ii=1 (диагональный элемент, расположенный на пересечении i-ой строки и i-го столбца), так как это отношение элемента по важности к самому себе.

2. Для любых i и k справедливо равенство а_ki* а_ik=1. Действительно, если а_ki – отношение веса k-го элемента (w_k) к весу i-го элемента (w_i), а а_ik –обратное отношение, то получаем а_ki* а_ik= (w_k / w_i)*(w_i/ w_k)=1. Это соответствует определению обратносимметричной матрицы. То есть для нашей матрицы попарных сравнений, если объекты оценены верно, то а₂₁=1/ а₁₂ и т.д.

3. Для любых i, k и l справедливо равенство а_ik* а_kl=a_il. Это как раз отражает, то, что мы говорили ранее о согласованности измерений.

4. Столбец с весами элементов является собственным вектором матрицы попарных сравнений, с собственным значением l равным количеству сравниваемых элементов (n). Если обозначить матрицу А, столбец с весами w, то будет справедливо А*w =n*w.

Если матрица попарных сравнений строится не на точных измерениях, а на субъективных суждениях, то она, естественно, может отклоняться от идеальной. В этом случае у матрицы будет несколько собственных значений. Вспомним несколько полезных для нас свойств матриц: А*w =l*w, где l={l₁, l₂, …, l_n}. В идеальной матрице все собственные значения равны 0 за исключением одного, равного n. Следующее важное свойство, если элементы положительной обратносимметричной матрицы А незначительно изменить, то собственные значения также изменятся незначительно.

Объединяя эти результаты, находим, что если диагональ матрицы А состоит из единиц и А – согласованная матрица, то при малых изменениях в значениях а_ik наибольшее собственное значение l_max остаётся близким к n (при этом всегда lmax³ n), а остальные собственные значения – близкими к нулю.

Поэтому можно сформулировать следующую задачу: если А – матрица значений парных сравнений, то для нахождения вектора весов (или приоритетов) нужно найти вектор w (неравный нулю), который удовлетворяет матричному уравнению А*w =l_max*w

Для определения собственного значения l_max необходимо решить характеристическое (алгебраическое n-го порядка) уравнение

½ А - l_max *Е½ =0, где Е – единичная матрица и с учётом соотношения lmax³ n. Далее с найденным значением lmax следует определить решение w матричного уравнения
А*w =l_max*w, то есть собственный вектор матрицы А.

Так как желательно иметь нормализованное решение, то слегка изменим w, заменив вектор w на вектор w=w/å w_i. Это преобразование обеспечивает единственность вектора и для компонент преобразованного вектора å w_i=1. Условие нормировки весов удобно использовать для контроля правильности расчётов весов w_i.

Для проведения парных сравнений n объектов или действий требуется суждений о парных сравнениях.
Можно оценить отклонение от согласованности матрицы сравнений разностью , разделенной на (n-1). Насколько плоха согласованность для определенной задачи, можно оценить путем сравнения полученного нами значения величины с её значением из случайно выбранных суждений и соответствующих обратных величин матрицы того же размера.

Выражение называется индексом согласованности (ИС).

Индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратносимметричной матрицы с соответствующими обратными величинами элементов, назовем случайным индексом (СИ).

В Национальной лаборатории Окриджа сгенерировали средние СИ для матриц порядка от 1 до 15 на базе 100 случайных выборок. Как и ожидалось, СИ увеличивались с увеличением порядка матрицы. Вычисления были повторены в школе Уортона для величины случайной выборки 500 в матрицах порядка до 11х11, а далее использовались предыдущие результаты для n=12, 13, 14, 15. Ниже представлены порядок матрицы и средние СИ, определенные так, как описано выше:

Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС). Значение ОС, меньшее или равное 0, 10, будем считать приемлемым. Для идеально согласованной матрицы ОС=0, так как ИС=0.

Из таблицы для СИ видно, что матрица парных сравнений с n=2 всегда идеально согласована. Действительно, матрица А в этом случае имеет вид А = .

Найдём её собственные значения, решая соответствующее характеристическое уравнение (1-l_max)²=1. Получаем l₁=0; l₂=2. То есть l_max=2, следовательно, любая матрица парных сравнений 2-го порядка идеально согласована.

Если ОС> 0, 1, то имеется рассогласование элементов матрицы парных сравнений. И это характеризует уровень доверия к полученным результатам. Чем больше это отличие, тем меньше доверие. То есть желательно вернуться к этапу экспертных парных сравнений и постараться устранить или уменьшить рассогласование за счёт более тщательной оценки результатов парных сравнений.

Рассогласованность матрицы парных сравнений может быть вызвана, по крайней мере, двумя факторами:

· личными качествами эксперта

· степенью неопределенности объекта оценки

Таким образом, эта модификация метода парных сравнений содержит внутренние инструменты позволяющие определить качество обрабатываемых данных и степень доверия к ним. Эта особенность данной методики выгодно отличает его от большинства обычно применяемых при исследовании рынка методов.