Основные уравнения и законы. Закон полного тока в интегральной форме

Закон полного тока в интегральной форме

Циркуляция вектора напряженности по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, пронизывающих контур (полный ток). Под полным током понимают весь ток, пронизывающий контур интегрирования (ток проводимости и ток смещения).

Этот закон позволяет рассчитать контур в случае прямых длинных проводников.

Пример:

Рассчитать напряженность поля в точке А в поле уединенного прямого провода с током I.

Проведем через точку А окружность радиусом R в плоскости перпендикулярной оси провода. В силу симметрии напряженность поля во всех точках окружности одна и та же, а направление напряженности совпадает с касательной к окружности.

Закон полного тока в дифференциальной форме

Выделим небольшой контур и составим для него циркуляцию вектора напряженности. Циркуляция вектора напряженности вдоль малого контура равна току, пронизывающему этот контур. Так как контур мал, то в пределах этого контура плотность тока одинакова.

где проекция вектора плотности тока на нормаль к площади.

За положительное направление нормали к площади принимают направление движения острия правого винта, головка которого вращается в направлении, принятом за положительное при обходе контура и составлении циркуляции

Тогда:

Разделим обе части равенства на элементарную площадь и устремим элементарную площадку к нулю

Если площадку ориентировать в пространстве так, что направление нормали совпадет с направлением вектора плотности тока , то вместо проекций двух векторов можно записать равенство самих векторов.

- дифференциальная форма закона полного тока.

Ротор – это функция, характеризующее поле в рассматриваемой точке в отношении способности к образованию вихрей.

Магнитное поле всегда вихревое.

В том случае, когда , , магнитное поле можно считать условно потенциальным, т.е. каждая точка поля обладает каким–то потенциалом, неизменным во времени.

Раскрытие ротора в декартовой системе координат

Равенство векторов и означает, что равны их проекции на оси x, y, z

Проекция ротора на направление оси z

Проекция ротора на направление оси x

Проекция ротора на направление оси y

Таким образом,

Выражение проекций ротора в цилиндрической и сферической системах координат

В цилиндрической системе координат:

В сферической системе координат: