Позиционные системы счисления

Информация в ЭВМ кодируется, как правило, в двоичной системе счисления. Система счисления – это способ представления любого числа с помощью символов, имеющих определенные количественные значения и называемых цифрами. Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе. Примером такой системы является римская система счисления.

В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от её места (позиции) в числе. Количество s различных цифр, употребляемых в позицион­ной системе, называется ее основанием. Эти цифры обозначают s целых чисел, обычно 0, 1,..., (s-1). В десятичной системе ис­пользуются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; эта система имеет основанием число десять.

В общем случае в позиционной системе с основанием s лю­бое число х может быть представлено в виде полинома от ос­нования s:

х=e_rs^r + e_r-1 s ^r-1 +….+ e₁s¹ + e₀s⁰ +e_-1s^-1 + e_-2s^-2 + …(2.1)

где в качестве коэффициентов e_i могут стоять любые из s цифр, используемых в системе счисления.

Принято представлять числа в виде соответствующей (2.1) последовательности цифр:

x=.e_r e_r-1 …. e₁ e_0, e_-1e_-2 …

В этой последовательности запятая отделяет целую часть числа от дробной (коэффициенты при положительных степенях, включая нуль, от коэффициентов при отрицательных степенях). Запятая опускается, если нет отрицательных степе­ней. Позиции цифр, отсчитываемые от запятой, называют разря­дами. В позиционной системе счисления значение каждого раз­ряда больше значения соседнего справа разряда в число раз, равное основанию s системы.

В ЭВМ применяют позиционные системы счисления с неде­сятичным основанием: двоичную, шестнадцатиричную, восьме­ричную и др. В дальнейшем для обозначения используемой системы счисления число будет заключено в скобки и в индексе указано основание системы счисления.

Наибольшее распространение в ЭВМ имеет двоичная система счисления. В этой системе используются только две («двоичные») цифры: 0 и 1.

В двоичной системе любое число может быть представлено после­довательностью двоичных цифр

x = a_m a_m-1… a₁a₀, a_-1a_-2…, где a_i, либо 0, либо 1.

Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с ука­занными в ней коэффициентами:

x = a_m 2^m + a_m-1 2 ^m-1 + … + a₁ 2¹ + a₀ 2⁰ + a_-1 2^-1 + a _-2 2^-2+... (2.2)

Например, двоичное число

(10101101, 101)₂ = 1× 2⁷ + 0× 2⁶ + 1 × 2⁵ + 0× 2⁴ + 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰ + 1 × 2^-1 + 0 × 2^-2 + 1× 2^-3

как следует из приведенного разложения его по степеням числа 2, со­ответствует десятичному числу

(173, 625)₁₀.

Двоичное изображение числа требует большего (для многоразряд­ного числа примерно в 3, 3 раза) числа разрядов, чем его десятичное представление. Тем не менее применение двоичной системы создает большие удобства для проектирования ЭВМ, так как для представле­ния в машине разряда двоичного числа может быть использован лю­бой простой элемент, имеющий всего два устойчивых состояния. Другим важным достоинством двоичной системы является простота двоичной арифметики.

В восьмеричной системе, употребляется восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Любое число в восьмеричной системе представляется последова­тельностью цифр

x = b_q b_q-1 … b₁b₀, b_-1 b_-2 …,

в которой b_i могут принимать значения от 0 до 7.

Например, восьмеричное число

(703, 04)₈= 7× 8²+0× 8¹+3 × 8⁰+0 × 8^-1+4× 8^-2 = (451, 0625)₁₀.

В шестнадцатиричной системе для изображения чисел употре­бляется 16 цифр: от 0 до 15. При этом, чтобы одну цифру не изобра­жать двумя знаками, введены специальные обозначения для цифр, больших девяти. Первые десять цифр этой си­стемы обозначаютсяцифрами от 0 до 9, а старшие пять цифр — латинскими буквами: десять — А, одиннадцать — В, двенадцать — С, тринадцать — D, четырнадцать — Е, пятнадцать — F. Например, шестнадцатиричное число

(В2Е, 4)₁₆ = 11× 16²+2× 16¹+14× 16⁰+4× 16^-1 = (2862, 25)₁₀.

Для перевода восьмеричного (шестнадцатиричного) числа в двоич­ную форму достаточно заменить каждую цифру этого числа соответ­ствующим трехразрядным (четырехразрядным) двоичным числом, при этом отбрасывают ненужные нули, например

₈ = (11000101, 1)₂.

₁₆ = (11110110010, 111)₂.

Для перехода от двоичной к восьмеричной (или шестнадцатирич­ной) системе поступают следующим образом: двигаясь от запятой влево и вправо, разбивают двоичное число на группы по три (четыре) разряда, дополняя при необходимости нулями крайние левую и пра­вую группы. Затем каждую группу из трех (четырех) разрядов заме­няют соответствующей восьмеричной (шестнадцатиричной) цифрой.

Приведем примеры:

а) перевод двоичного числа 1101111001, 1101 в восьмеричное:

= (1571, 64)₈;

б) перевод двоичного числа 11111111011, 100111 в шестнадцатиричное:

= (7FB, 9C)₁₆

В настоящее время в большинстве ЭВМ используются двоичная система и двоичный алфавит для представления и хранения чисел, команд и другой информации, а также при выполнении арифметических и логических операций.

Шестандатиричная (и восьмеричная) система применяется в текстах программ для более короткой и удобной записи двоичных кодов команд, адресов и операндов. Кроме того, эти системы применяются в ЭВМ при некоторых формах представления чисел.