![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Вынужденные колебания в линейной системе при гармоническом воздействии
Для линейных стационарных систем выполняется принцип суперпозиции: если воздействие x 1(t) порождает реакцию u 1(t), а воздействие x 2(t) реакцию u 2(t), тогда воздействие, которое является линейной комбинацией первых двух a 1 x 1(t) + a 2 x 2(t) порождает следующую реакцию a 1 u 1(t) + a 2 u 2(t). Этот принцип означает, что в таких системах отсутствует нелинейное взаимодействие колебаний, вызванных различными одновременными действующими внешними силами. Будем считать, что собственные колебания в диссипативной системе достаточно быстро затухают, и можно анализировать только вынужденные колебания, т. е. рассматривать установившийся режим Рассмотрим простейший RLC контур с источником гармонического воздействия u 1(t) с частотой w 1 (рис. 26), тогда колебательный процесс будет описываться линейным ДУ:
Начальную фазу надо отсчитывать от внешнего воздействия. При гармоническом воздействии внешней силы реакция линейной системы есть гармонический сигнал:
Подставим это выражение в (4.1):
Воспользовавшись равенством
преобразуем получившееся уравнение к виду
Приравнивая амплитуды и фазы в правой и левой частях этого уравнения, получим
Мы обозначили g = w 1/ w 0 - расстройка, Q 0 = w 0 L / R - добротность. Из (4.2) следует, что j 1(w 1 ® 0) = 0, j 1(w 1 = w 0) = p /2, j 1(w 1 ® ¥) = p. Решим эту задачу методом комплексных амплитуд. Сопоставим току и напряжению их комплексные амплитуды, а также вспомним реактивные сопротивления, тогда можно записать
Найдём модуль
Нетрудно видеть, что максимальное значение тока:
Введём форм-фактор, который определяет семейство нормированных резонансных кривых (в данном случае для тока)
График этой функции приведён на рис. 27. Напряжение на резисторе пропорционально току через контур uR = iR, т. е. амплитуда напряжения на резисторе достигает максимума при w 1 = w 0. Зависимость фазы напряжения на резисторе от расстройки приведена на рис. 28.
Исходя из операций с комплексными амплитудами, легко получить выражения для напряжений на всех элементах рассматриваемого колебательного контура. Для комплексной амплитуды напряжения на конденсаторе получаем
Соответственно, фаза напряжения на конденсаторе сдвинута относительно фазы напряжения на резисторе на - p /2. Резонанс напряжения на ёмкости Для комплексной амплитуды напряжения на индуктивности получаем
Фаза напряжения на индуктивности сдвинута относительно фазы напряжения на резисторе на p /2. Резонанс напряжения на индуктивности
|