Вычисление производных

Вычислить приближённые значения производных (первой и второй) для функции f (x), заданных в таблице 1. Аргумент задан в таблице.

Первую производную аппроксимировать центральным разностным отношением, а для второй производной использовать формулу

(а) Найдите приближения к первой производной по указанному правилу для всех трёх функций. Используйте формулу центрального разностного отношения для значений ,

где k = -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

(б) Вычислите приближения для вторых производных. Шаг тот же.

В каждом случае сравните вычисленные приближения с истинными значениями производных. Можете ли вы объяснить, как на выбор наилучшего значения h влияет поведение функции f (x) вблизи точки x?

(в) Используйте технику экстраполяции, чтобы улучшить приближения, полученные в пунктах (а) и (б).

(г) Сделайте выводы, проанализировав погрешность вычислений. Результаты оформите в таблице, сравнив точные и приближенные значения производных, а также полученную ошибку. Приведите график ошибки в зависимости от k.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Ниже приводится пример выполнения задания для указанного варианта.

1 Задание №1

Задание

Найти корни уравнения f(x) = 0 методом итераций с точностью ε =10^-4.

1.2. Идея метода простых итераций

Представим функцию f(x)=0 в виде x = φ (x). На каждом шаге x⁽ⁿ⁾ = φ (x^(n-1)). Значение x⁽ⁿ⁾ постепенно приближается к корню уравнения f(x)=0.

1.3. Построение итерационной функции

Преобразуем выражение

или , значит,

– искомая итерационная функция

1.4. Критерий окончания итерационного процесса

Требуемая точность будет достигнута, когда , где q = max|φ ’(x)| на промежутке [0, 0.5].

Так как на промежутке [0, 0.5], то q = φ ’(0) = 0.5

Таблица 1 – Поиск корня уравнения методом простых итераций.

Номер п/п, n	Предыдущее приближение, x(n-1)	Текущее приближение, x(n)
	0.0000	0.5000	1.0000
	0.5000	0.4196	0.1609
	0.4196	0.4437	0.0482
	0.4437	0.4369	0.0135
	0.4369	0.4389	0.0039
	0.4389	0.4383	0.0011
	0.4383	0.4385	0.0003
	0.4385	0.4384	0.0001

Вывод: С помощью метода простых итераций за 8 шагов был найден корень уравнения f(x)=0, полученный корень:

x = 0.4384±0.0001

2. Задание №3

2.1. Задание

Функция задана таблично. Вычислить значения функции с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа. Оценить погрешность вычислений, погрешность метода, суммарную погрешность.

Таблица 2 – Задание функции.

2.2. Идея метода

Поскольку в таблице значение функции заданы с четырьмя знаками после запятой, выберем точность аргумента, которая не ухудшит точность входных данных x=0.1010192

В общем случае будем заменять функцию f(x) полиномом степени n

P_n(x) = a₀ + a_1× x + a_2× x² +... + a_n× xⁿ

совпадающим с функцией f(x) в n+ 1 табличных точках x_i, называемых узлами интерполяции

a₀ + a_1× x_i + a_2× x_i² +... + a_n× x_iⁿ = f(x_i), i =0, 1, 2 ,...n. (1)

Система уравнений (1) может быть решена, если среди узлов x_i нет совпадающих. Используя решение этой системы интерполяционный полином можно записать в виде полинома Лагранжа

// формула

В нашем случае будем интерполировать функцию полиномом Лагранжа 2 степени, для точек №1, 2 и 3.

2.3. Оценка погрешности метода

Ошибка приближения функции интерполяционным полиномом это разность R_n(x) = f(x) - P_n(x), где

Приближенно найдем третью производную функции, заменив полином Лагранжа третьей степени. Тогда третья производная постоянна и равна старшему члену полинома Лагранжа третьей степени, умноженному на 3!.

2.3. Оценка погрешности вычислений.

Пусть ε = 0.00001 – погрешность исходных данных, ……………..

//…надо сделать!!!!!!

2.4. Вывод.

С помощью метода интерполяции полиномами Лагранжа было получено приближенное значение функции в точке .

f(x) = 1.859±0.005

3. Задание №4

3.1. Задание

С точностью ε = 10^-3 найти наименьший положительный корень уравнения f(x) = 0.

1. Методом половинного деления

2. Методом Ньютона

3. Методом хорд

Результаты занести в таблицу. f(x) = tg(2x)+2x

a. Исследование задачи

Построив график функции f(x) (Рис. 1), находим, что наименьший положительный корень уравнения f(x)= 0 находится на промежутке

[0.8, 1.2]. Все методы будем применять для поиска корня именно на этом промежутке.

b. Идея метода половинного деления.

Разделим исходный отрезок [a, b] пополам c=(a+b)/2. Проверяя знаки f(a), f(b), f(c) выясним в каком из отрезков [a, c] или [c, b] содержится корень

x* Î [a, c], если f(a)f(c) < 0;

x* Î [c, b], если f(c)f(b) < 0.

Выбранный отрезок принимаем за [a, b] и повторяем это до тех пор, пока получаемый отрезок не сожмется до заданной степени точности.

Рисунок 3.1. График функции f(x)

c. Идея метода половинного деления.

Разделим исходный отрезок [a, b] пополам c=(a+b)/2.

Проверяя знаки f(a), f(b), f(c) выясним в каком из отрезков [a, c] или [c, b] содержится корень

x* Î [a, c], если f(a)f(c) < 0;

x* Î [c, b], если f(c)f(b) < 0.

Выбранный отрезок принимаем за [a, b] и повторяем это до тех пор пока получаемый отрезок не сожмется до заданной степени точности.

d. Идея метода Ньютона

Зададим некоторое начальное приближение x _0Î [a, b] и линеаризуем функцию f(x) в окрестности x₀ с помощью отрезка ряда Тейлора

f(x) = f(x₀) + f '(x₀) (x-x₀).

Решим линеаризованное уравнение f(x₀) + f '(x₀)(x-x₀) = 0,

трактуя его решение x как первое приближение к корню

x₁ = x₀ - f(x₀)/f '(x₀).

Продолжая этот процесс, приходим к формуле Ньютона

,

которую можно считать итерационным процессом с итерирующей функцией s(x) = x - f(x)/f '(x).

e. Идея метода хорд

Этот метод можно получить из метода Ньютона, заменив производную f '(x) отношением разности функции к разности аргумента в окрестности рассматриваемой точки

Геометрически это означает, что приближенным значением корня считается точка пересечения секущей, проходящей через две точки функции f(x⁽ⁿ⁾) и f(x^(n-1)), с осью абсцисс.

Таблица 3 – Нахождение корня уравнения методом половинного деления

Таблица 4 – Нахождение корня уравнения методом Ньютона

Таблица 5 – Нахождение корня уравнения методом хорд

Замечание Промежуточные вычисления ведем с запасными цифрами!! Здесь их нет!!!!

3.6. Вывод: Наименьший положительный корень уравнения f(x)=0 x = 1.014±0.001. С помощью метода половинного деления требуемой точности удалось достичь за 10 шагов, с помощью метода Ньютона – за 8 шагов, с помощью метода хорд – за 7 шагов. Значит, в нашем случае, наибольшей скоростью сходимости обладает метод хорд.

4. Задание №5

4.1. Задание

Дана таблица значений функции . Вычислить значения и в заданной точке x=1.1. Оценить погрешность вычислений, считая, что функция в таблице задана точно.

Таблица 6 – Задание функции .

0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6	1, 00000 1, 20500 1, 42007 1, 64538 1, 88124 2, 12815 2, 38676	0, 7 0, 8 0, 9 1, 0 1, 1 1, 2 1, 3	2, 65797 2, 94290 3, 24293 3, 55975 3, 89537 4, 25216 4, 63285	1, 4 1, 5 1, 6 1, 7 1, 8 1, 9 2, 0	5, 04065 5, 47918 5, 95261 6, 46561 7, 02350 7, 63219 8, 29835

4.2. Метод решения задачи

Для вычисления первой производной в точке x воспользуемся центральным разностным соотношением:

, где h = 0.1

Для вычисления второй производной в точке x воспользуемся формулой

, которая получается, если дважды применить формулу центрального разностного соотношения.

4.3. Оценка погрешности вычислений

// Погрешность вычислений …………?????????? ……………

4.4. Вывод: первая и вторая производные в точке x=1.1 получились равными:

f’(1.1)≈ 3.4620499610900±0.0000000000001

f’’(1.1)≈ 2.117013931274±0.000000000001

5. Задание №6

5.1. Задание

Вычислить определённый интеграл с помощью формул:

-трапеций;

-Симпсона;

-прямоугольников (3 шт.) с числом узлов .

Оценить погрешность по формуле Рунге.

5.2. Описание метода решения задачи

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся так называемыми квадратурными формулами. Формула прямоугольников для приближенного вычисления определенного интеграла от непрерывной на [ a, b ] функции f(x) имеет вид:
, ,

//не копировать формулы!!!!!

Формула трапеций для приближенного вычисления определенного
интеграла от непрерывной на [ a, b ] функции f(x) имеет вид:
, ,

Формула Симпсона для приближенного вычисления определенного
интеграла от непрерывной на [ a, b ] функции имеет вид:
, , , n=2m.

//не копировать!!!!!

5.3. Оценка погрешности квадратурных формул. Правило Рунге.

Для оценки погрешности R квадратурной формулы для непрерывной на
[ a, b ] функции f(x), можно использовать правило Рунге: вычислить по
соответствующей квадратурной формуле с шагом h=(b-a)/n и с шагом h/2
значения I _k и I _{k/ 2}, и найти приближенное значение интеграла и оценку
погрешности по формулам:
, — для формулы прямоугольников;
, — для формулы трапеций;
, — для формулы Симпсона.

Таблица 7 – Вычисление определенного интеграла с помощью квадратурных формул

5.4. Вывод: искомый определенный интеграл у меня получился равным:

I ≈ 0.528±0.002 – по формуле трапеций

I ≈ 0.529±0.004 – по формуле прямоугольников

I ≈ 0.5304±0.0001 – по формуле Симпсона

Как видно, наименее точной из этих формул является формула прямоугольников, наиболее точной – формула Симпсона.

6. Задание №7

6.1. Задание

Вычислить интеграл по формуле Гаусса и оценить погрешность для :

6.2. Описание метода решения задачи

Воспользуемся следующей формулой:

Где t_i – нули полинома Лежандра 4 степени P₄(x)=1/8(35x⁴-30x²+3)

Коэффициенты A_i и точки t_i –табличные величины.//!!!!

6.3. Оценка погрешности

Остаточный член формулы Гаусса для n =4 выражается следующим образом:

.

// далее: ищем!!! Десятую производную и её максимум!!!!!! *

…………………………………………………………

6.4. Вывод: искомый интеграл получился равным:

I ≈ 0.20067069544±0.00000000003

Данный метод оказался очень точным.

7. Задание №12

7.1. Задание

Сравнить эффективность метода Ньютона и метода обратной квадратичной интерполяции для достижения заданной точности. ε = 10^-4.

f(x) = x² – cos π x на промежутке [0, 0.5]

7.2. Описание метода решения задачи

Метод Ньютона для поиска корней уравнения был описан выше (см. пункт 3.4)

Метод обратной квадратичной интерполяции заключается в следующем:

Выбираем любые три точки на промежутке [a, b], и находим по ним уравнение параболы x = g(y). На каждом шаге находим следующее приближение:

x⁽ⁿ⁾ = g(0)

Продолжаем этот процесс, пока |x⁽ⁿ⁾-x^(n-1)|> =ε

Таблица 8 – Сравнение эффективности метода Ньютона и метода обратной квадратичной интерполяции

7.3. Вывод: Метод обратной квадратичной интерполяции оказался более эффективным, чем метод Ньютона. Скорость сходимости этих методов примерно одинакова, однако метод Ньютона обладает локальной сходимостью, а метод обратной квадратичной интерполяции более стабилен.

8. Задание №13

8.1. Задание

Вычислить коэффициенты обусловленности корней полинома пятой степени в зависимости от коэффициентов полинома a priori и a posteori, то есть теоретически и вычислив корни полинома с помощью приближенных методов по формуле Ньютона. Покажите, что для кратных и простых корней метод имеет различную скорость сходимости

Коэффициенты уравнения вещественны и заданы с точностью ε _м, которая должна быть предварительно подсчитана.

(2х-1)(х-4)²(х-5)²=0

8.2. Алгоритм определения машинной точности

float em = 0.5;

while (em + 1. > 1.)

{

em = em/2.;

}

em = em*2.;

Если использовать компилятор, входящий в пакет Microsoft Visual Studio 6.0, машинная точность получается примерно равной ε _m≈ 0.000000000000000222.

// привести характеристики PC

8.3. Априорная оценка погрешности

Вычислим корни уравнения. Они равны:

x₁ = 0.5 – корень первой кратности

x_{2, 3} = 4 – корень второй кратности

x_{4, 5} = 5 – корень второй кратности

Сначала найдем коэффициенты обусловленности для корня первой кратности.

Раскроем в уравнении скобки и получим:

2x⁵-37x⁴+260x³-841x²+1160x-400

Рассмотрим неявно заданную функцию:

φ (x_k, a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅)= , где:

x_k – один из корней уравнения;

a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ –коэффициенты уравнения.

Тогда i -ый корень будет определяться через коэффициенты: x_i=φ (a₀, a₁, a₂, a₃, a₄, a₅)

Погрешность функции многих переменных определяем по формуле: , где:

ν _i – коэффициент обусловленности;

δ ai – относительная погрешность коэффициента (она равна машинной точности).

Найдем производную неявной функции :

Тогда:

Найдем коэффициенты обусловленности для корня x₁ = 0.5:

// привести явную формулу для вычисления коэффициентов!!!!

ν ₀ = 1.612

ν ₁ = 2.338

ν ₂ = 0.848

ν ₃ = 0.131

ν ₄ = 0.009

ν ₅ = 0.000

Таким образом, x₁ ≈ 0.5000000000000000±0.0000000000000005

Теперь найдем коэффициенты обусловленности для корней второй кратности.

Для кратных корней (в нашем случае кратности 2) x₁=x₂=4 и x₄=x₅=5 коэффициент обусловленности будет стремиться к бесконечности, так как эти корни будут простыми корнями уравнения f’_x=0.

Как и делалось выше, найдем обусловленность кратных корней x₁=x₂=4 и x₄=x₅=5. Необходимо отметить, что погрешность входных данных теперь 2ε _м, так как коэффициенты представляют собой произведения первоначальных коэффициентов и степеней, которые ранее были представлены с точностью ε _м.

Рассмотрим неявную функцию:

F(x_i, a₀, a₁, a₂, a₃, a₄)=a₄x_i⁴+a₃x_i³+a₂x_i²+a₁x_i+a₀

F(x_i, a₀, a₁, a₂, a₃, a₄)=0

где:

a₄=10

a₃=-148

a₂=780

a₁=-1682

a₀=1160

коэффициенты уравнения, а x_i является одним из корней уравнения. Тогда i -ый корень будет определяться через коэффициенты: x_i=φ (a₀, a₁, a₂, a₃, a₄).

Погрешность функции можно определить по формуле:

, где:

// считаем сами………………………………

………………………………………

8.4. Определение корней при помощи метода Ньютона

Идея данного метода описана в пункте 3.4.

Таблица 9 – Определение корней при помощи метода Ньютона

// теперь нужно еще раз найти коэффициенты обусловленности, имея корни……….

8.5. Вывод: с помощью метода Ньютона корень первой кратности удалось вычислить точнее, чем при теоретической оценке. Корни второй кратности, наоборот, оказались менее точными. Так же было показано, что для корней первой и второй кратности метод Ньютона имеет обладает разной скоростью сходимости (в случае корней второй кратности сходится значительно медленнее).

// плохой вывод……

9. Задание №14

9.1. Задание

Вычислить приближённые значения производных (первой и второй) для функции

f (x) = x² – cos π x в точке x = 0.26

Первую производную будем аппроксимировать центральным разностным отношением, а для второй производной используем формулу

(а) Найдите приближение к первой производной по указанному правилу. Используйте формулу центрального разностного отношения для значений , где k = -10, -9, -2, -1, 0, 1, 2, 9, 10.

(б) Вычислите приближение для второй производной. Шаг тот же.

В каждом случае сравните вычисленные приближения с истинными значениями производных. Можете ли вы объяснить, как на выбор наилучшего значения h влияет поведение функции f (x) вблизи точки x?

(в) Используйте технику экстраполяции, чтобы улучшить приближения, полученные в пунктах (а) и (б).

(г) Сделайте выводы, проанализировав погрешность вычислений. Результаты оформите в таблице, сравнив точные и приближенные значения производных, а также полученную ошибку

9.2. Описание метода решения задачи

Для вычисления первой производной в точке x воспользуемся центральным разностным соотношением:

, где , k = -10, -9, …….. -2, -1, 0, 1, 2, 9, 10.

Для вычисления второй производной в точке x воспользуемся формулой

,

которая получается, если дважды применить формулу центрального разностного соотношения.

Таблица 10 – Приближенное вычисление производной

// не все значения взяты!!!

9.3. Вывод: при приближенном вычислении производной с различным шагом наибольшая погрешность была получена при наименьшем шаге. Это связано с большой погрешностью вычислений. С увеличением шага погрешность сначала уменьшается (преобладает вычислительная погрешность, которая уменьшается с увеличением шага), затем достигает оптимального значения, и вновь начинает расти (преобладает методическая погрешность, которая растет с увеличением шага).

Список использованной литературы

1. Ю.П. Боглаев – Вычислительная математика и программирование

2. Б.П. Демидович, И.А. Марон – Основы вычислительной математики