Производная обратной функции

ПРОИЗВОДНАЯ сложной функции

Пусть функция определена на множестве и принимает значения из , а функция определена на множестве и принимает значения из , тогда называется сложной функцией.

Теорема. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в точке тогда функция имеет производную в точке и .

Доказательство: Рассмотрим приращение функции :

. Разделим обе части соотношения на : . Если для функции существует производная в точке , то в этой точке функция непрерывна, т.е. при . Рассмотрим

.

ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ функции

и – взаимно однозначная функция

, и имеет место следующее тождество:

. Так как сложная функция, то с применением формулы производной сложной функции получим:

. Таким образом, получим следующую теорему:

Теорема. Если для функции существует производная , то для обратной функции существует и .