Дифференцируемость и дифференциал функции

Как известно – называется приращением функции в точке .

Возникает вопрос можно ли приращение функции представить в виде: , (1)

где некоторая постоянная.

Если имеет место (1), то функция в точке называется дифференцируемой, а выражение , которая является главной частью приращения функции, – называется дифференциалом функции в точке .

Теорема. Для того чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно чтобы она имела производную в точке и .

Доказательство:

пусть

где .

Наоборот, пусть т.е. функция дифференцируема в точке . Покажем, что .

Обе части тождества (1) разделим на получим при правая часть имеет предел, равный , следовательно, левая часть тоже имеет предел, который равен .

.

Таким образом, существование производной функции необходимое и достаточное условие для дифференцируемости, потому в дальнейшем функции которые имеют производную в точке называется дифференцируемой в точке .

Главная часть приращения (1) называется дифференциалом функции в точке и обозначается , где – любое приращение аргумента. Следовательно, дифференциал функции в точке – это линейная функция относительно приращения .

Геометрический смысл дифференциала. Пусть имеем функцию .

, . Проведем касательную в точке , которая пересекает в точке . Тогда . при , . Это дает возможность посчитать приблизительно по формуле .

Пример. ;

Т.е. приращение в точке функции приблизительно можно посчитать по формуле: .