Лекция №2 Прямая на плоскости

Определение: Любая прямая на плоскости может быть задана линейным уравнением относительно переменных и : , где коэффициенты и не равны нулю одновременно.

Данное уравнение называют общим уравнением прямой.

В зависимости от значений коэффициентов , и можно рассмотреть следующие частные случаи:

Если , то уравнение можно представить в виде , что соответствует прямой параллельной оси ОХ.

Если , то уравнение можно представить в виде , что соответствует прямой параллельной оси ОУ.

Если , то уравнение можно представить в виде . В данном случае получим прямую, проходящую через начало координат.

Способы задания прямой на плоскости

1) Пусть , . Тогда - уравнение прямой, проходящей через заданную точку , перпендикулярно заданному вектору .

2) Пусть , . Тогда - уравнение прямой, проходящей через заданную точку , параллельно вектору .

3) Пусть , . Тогда - уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

4) Приведем общее уравнение прямой к виду . Обозначим , . Получаем - уравнение прямой с угловым коэффициентом k (тангенс угла наклона прямой к оси ОХ).

5) Пусть все коэффициенты уравнения не равны нулю. Умножив обе части общего уравнения прямой на , получаем - уравнение прямой в отрезках, где . Здесь - координата точки пересечения прямой с осью ОХ, а - координата пересечения прямой с осью ОУ.

6) Пусть - нормирующий множитель. Разделив обе части общего уравнения прямой на , получим - нормальное уравнение прямой, где .Знак нормирующего множителя выбирается из условия . Здесь - длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, а - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси ОХ.

7) Пусть , - направляющий вектор. Тогда - параметрическое уравнение прямой.

Угол между прямыми на плоскости

1) Угол , отсчитываемые против часовой стрелки от прямой , заданной уравнением , до прямой , заданной уравнением , определяется формулой .

2) Пусть прямая задана уравнением , прямая задана уравнением . Тогда справедлива формула , где и .

Если или , то прямые и являются параллельными.

Если или , то прямые и являются перпендикулярными.

Точка пересечения двух прямых (не параллельных)

Пусть прямая задана уравнением , прямая задана уравнением , и прямые не параллельные. Тогда, что бы найти точку пересечения этих прямых необходимо решить систему .

Расстояние от точки до прямой

Пусть дана точка и прямая . Тогда расстояние от точки до данной прямой находится по формуле .

Пример 1: Написать уравнение прямой проходящей через точку , перпендикулярно вектору .

Решение: Воспользуемся формулой . Получаем, или . Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид .

Ответ: .

Пример 2: Дано общее уравнение прямой . Написать: а) уравнение с угловым коэффициентом; б) уравнение в отрезках.

Решение: а) Вычислим коэффициенты и : , . Получаем - уравнение прямой с угловым коэффициентом.

б) Вычислим коэффициенты и : , . Получаем - уравнение прямой в отрезках.

Ответ: а) ; б) .

Пример 3: Определить угол между прямыми , .

Решение: Воспользуемся формулой . , - нормальные векторы данных прямых. Имеем, или .

Ответ: .

Пример 4: Определить расстояние от точки до прямой .

Решение: Воспользуемся формулой . Получаем .

Ответ: .

Пример 5: Показать, что прямые и пересекаются и найти координаты точки их пересечения.

Решение: Так как , то прямые пересекаются. Для нахождения координат точки пересечения решим систему . Получаем координаты точки пересечения прямых.

Ответ: .

Пример 6: Найти длину высоты в треугольнике с вершинами .

Решение: Вспомним, что высота опускается перпендикулярно на сторону треугольника. Следовательно, длина высоты есть расстояние от точки до прямой . Используя формулу получаем, или - уравнение прямой . По формуле найдем расстояние от точки до . .

Ответ: .