Преобразование дробных чисел

КОДИРОВАНИЕ ЧИСЕЛ

ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ

Двоичная система счисления подразумевает, что все числа состоят из двух возможных цифр: «1» и «0». В целом принцип счета остается прежним, для позиционных систем счисления. Дробное число в десятичной системе является дробями «десяти», а в двоичной соответственно дробями «двойки». Пример счета приведен ниже в таблице 1.1:

Таблица 1.1

Примеры двоичных чисел

Существует правила пересчета двоичных чисел в десятичные и наоборот. Целые и дробные числа преобразуются по-разному.

Преобразование целых чисел

Рассмотрим преобразование целого числа 100 из десятичной системы в двоичную. Для пояснения - каждое число будет иметь индекс, поясняющий, в какой системе находится число. Целые числа переводятся последовательным делением на основание счета, в данном случае на «2». Число делится нацело с вычислением остатка (см. рис. 1). Полученное частное повторно делится на «2» и так далее до тех пор, пока в последнее частное не станет меньше основания счета, т.е. «2» (рис. 1.1).

Рис 1.1. Перевод целого числа из десятичной системы в двоичную

Полученные остатки и есть наши искомые разряды. Записываем «1», а затем наши остатки, начиная с последнего получившегося. В итоге имеем: 100₁₀ → 1100100₂

Обратный расчет двоичного числа в десятичное осуществляется исходя из развернутой формы числа. Проведем обратное преобразование полученного выше числа в десятичную форму. Пронумеруем разряды числа, начиная с младшего:

Далее умножим разряд на основание счета в степени его порядкового номера и просуммируем результат:

1· 2⁶ + 1· 2⁵ + 0· 2⁴ + 0· 2³ + 1· 2² + 0· 2¹ + 0· 2⁰ = 64 + 32 + 4 = 100₁₀

Как мы можем увидеть, пересчет целых чисел между двоичной и десятичной систем происходит абсолютно точно. Поэтому применение целых чисел в программировании предпочтительно.

Преобразование дробных чисел

Дробные числа преобразуются иными методами, а именно умножением. Умножению подвергаем только дробную часть до тех пор пока она не исчезнет. Продемонстрируем преобразование числа 0, 125₁₀ и 0, 1₁₀ в двоичную систему счисления:

×	0, 125	×	0, 1
×	0, 250	×	0, 2
×	0, 500	×	0, 4
	1, 000	×	0, 8
		×	1, 6*
		×	1, 2
			0, 4

Рис. 1.2. Перевод дробного числа из десятичной системы в двоичную

(* - умножению подлежит только дробная часть числа, поэтому - 0, 6· 2=1, 2)

Разрядами двоичного числа будут целые части чисел, образующихся при умножении. Первый ноль в исходном числе это ноль в целой части, а остальные - разряды двоичного числа. Поэтому имеем 0, 125₁₀ → 0, 001₂. Во втором случае наблюдается зацикливание расчетов, таким образом, расчеты дают двоичное число с бесконечной дробной частью (иррациональное число) которое записывается следующим образом 0, 000110011(0011)… (см. рис. 1.2).

Поскольку в памяти компьютера все числа могут быть только рациональными, то приходится полученное число округлять до заданной точности (необходимое число разрядов в ячейках памяти компьютера), что привносит ошибку. Таким образом, не все дробные числа, вводимые в десятичной системе счисления, представляются абсолютно точно в памяти компьютера.

Обратный перевод осуществляется похожим образом, что и для целых чисел, но степени в выражении будут отрицательные:

Если число содержит целую и дробную части одновременно, то оно преобразуется двумя действиями: каждая из частей преобразуются отдельно друг от друга, а затем соединяются. Например, число 23, 43₁₀ будет преобразовано следующим образом:

Преобразуем целую часть 2310 в двоичную систему: Получаем: 2310 = 101112

Преобразуем дробную часть 0, 4310 в двоичную систему: × 0, 43 × 1, 76       × 0, 86   × 1, 52       × 1, 72   × 1, 04       × 1, 44   × 0, 08       × 0, 88     0, 16       …   1, 76   и т.д. Получаем 0, 4310 = 0, 011011100…2

Для получения итогового числа соединяем обе части вместе и получаем:

23, 43₁₀ = 10111, 011011100…₂

Обратный пересчет осуществляем, как было показано выше, через развернутую форму числа:

Произведем сложение разрядов с учетом их степеней (для простоты будем рассматривать только значимые разряды, отличные от нуля):