Двоичная система счисления

В двоичной (binary) системе счисления всего две цифры, называемые дво­ичны­ми (binary digits). Сокращение этого наименования привело к появлению тер­мина бит, ставшего наз­ванием разряда двоичного числа. Веса разрядов в дво­ичной системе изменяются по степе­ням двойки. Поскольку вес каждого раз­ря­да умножается либо на 0, либо на 1, то в резуль­тате значение числа опреде­ляется как сумма соответствующих значений степеней двойки. Если какой-ли­бо разряд двоичного числа равен 1, то он называется значащим разрядом. За­пись числа в двоичном виде намного длиннее записи в десятичной системе счисления.

Арифметические действия, выполняемые в двоичной системе, подчиня­ют­ся тем же правилам, что и в десятичной системе. Только в двоичной сис­теме перенос единиц в старший разряд возникает чаще, чем в десятичной. Вот как выглядит таблица сложения в двоичной системе:

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1

1 + 0 = 1 1 + 1 = 10 (перенос в старший разряд)

Таблица умножения для двоичных чисел еще проще:

0 * 0 = 0 0 * 1 = 0 1 * 0 = 0 1 * 1 = 1

Пример выполнения операции сложения в двоичной системе счисления:

1 1 1

1 0 1 1₂ Красным цветом показан перенос из младших разрядов в

⁺ 1 1 0₂ старшие

1 0 0 0 1₂

Для проверки правильности выполнения операции переведем все три чис­ла из двоичной системы в 10-ую:

1011 = 1*2³ + 1*2¹ + 1 = 8 + 2 + 1 = 11₁₀

3 2 1 0

110 = 1*2² + 1*2¹ = 4 + 2 = 6₁₀

2 1 0

10001 = 1*2⁴ + 1 = 16 + 1 = 17₁₀

4 3 2 1 0

Сумма первых двух чисел (11 и 6) равна третьему числу (17), следователь­но операция выполнена верно.

Обратите внимание на то, что при добавлении к числу, состоящему из еди­ниц (11…1), еще одной единицы, получается число, равное 1 с количест­вом нулей, равным количеству единиц исходного числа, например:

1111 1111₂ + 1 = 1 0000 0000₂ = 2⁸

Пример выполнения операции вычитания в двоичной системе счисле­ния:

Вычитание выполняется по тем же правилам, что и в 10-ой системе, но в 10-й системе при заеме единицы старшего разряда она превращается в 10 еди­­ниц младшего разряда, а в 2-й системе – в 2 единицы. Если нужно про­извести заем не в соседнем разряде, а далее влево, то из каждых двух единиц текущего разряда одна остается в этом разряде, а вторая передается вправо. Сравните:

9 9 10 1 1 2

1 0 0 0₁₀ 1 0 0 0₂

^- 1 ^- 1

9 9 9₁₀ 1 1 1₂

Выполним в 2-й системе счисление вычитание 17₁₀ – 6₁₀ :

0 1 1 2

1 0 0 0 1₂

^- 1 1 0₂

1 0 1 1₂ = 11₁₀ Проверка показывает, что вычитание выполнено верно.

Если в двоичной системе счисления из числа, являющегося степенью двойки, вычесть 1, то получается число, состоящее из единиц, количество которых равно количеству нулей двоичного числа, например:

2⁸ - 1 = 1 0000 0000₂ – 1 = 1111 1111₂

1023 = 1024 – 1 = 2¹⁰ – 1 = 11 1111 1111₂

Пример выполнения операции умножения в двоичной системе счисле­ния:

1 1 0 1₂ = 13₁₀

^* 1 0 1₂ = 5₁₀

1 1 0 1

⁺1 1 0 1

1 0 0 0 0 0 1₂ = 2⁶ +1 = 64 +1 =65₁₀ (13 * 5 = 65)

6 5 4 3 2 1 0

Рассмотрим подробнее, как процессор выполняет умножение двоичных чисел. Пусть надо умножить число 1101 на 101 (оба числа в двоичной сис­теме счисления). Машина де­лает это следующим образом: она берет число 1101 и, если первый справа элемент второго множи­теля равен 1, то она за­носит его в сумму. Затем сдвигает число 1101 влево на одну позицию, полу­чая тем самым 11010, и, если, второй элемент второго множителя равен еди­нице, то добавляет его к сумме. Если элемент второго множителя равен ну­лю, то сумма не изменяется. Этот процесс сдвигов и сложений повторяется.

Пример выполнения операции деления в двоичной системе счисле­ния:

Двоичное деление основано на методе, знакомом вам по десятичному де­ле­нию, т. е. сводится к выполнению операций умножения и вычитания. Вы­пол­нение основной процедуры - выбор числа, кратного делителю и пред­наз­наченного для уменьшения делимого, здесь проще, так как таким числом мо­гут быть только либо 0, либо сам делитель.

В качестве примера разделим 143₁₀ = 10001111₂ на 13₁₀ = 1101₂

1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1

^- 1 1 0 1 1 0 1 1₂ = 11₁₀

1 0 0 1 1

^- 1 1 0 1

1 1 0 1

^- 1 1 0 1

0

Проверка показывает, что деление выполнено верно (143 / 13 = 11).

Умножение или деление двоичного числа на 2 приводит к перемещению запятой, отделяющей целую часть от дробной на один разряд соответственно вправо или влево:

1011₂ * 10₂ = 10110_2.

1011₂ / 10₂ = 101.1_2.