Погрешности косвенных измерений

Пусть измеряемая величина является функцией непосредственно измеряемых величин

(9)

Теория погрешностей определяет, что абсолютная погрешность ∆ y находится по формуле

(10)

где ∂ f/∂ x_i обозначает так называемую частную производную, т. е. производная, которая вычисляется от функции f по аргументу x_i, причём все остальные аргументы считаются постоянными.

Если измеряемые величины x_i входят в основную формулу в виде произведения, то удобно определить вначале относительную погрешность по формуле

(11)

а затем найти и

Рассмотрим применение формул (10) и (11) на примерах.

Пусть

.

и по формуле (10)

,

причём ∆ x₁ и ∆ x₂ определены предварительно по формуле (4).

Пусть

.

В этом случае сначала найдём натуральный логарифм, а затем – частичные производные:

Подставляем в (11), найдём

Нетрудно видеть, что предварительное логарифмирование существенно упрощает вид частных производных.

Возможен и другой подход к оценке погрешности результата косвенного измерения. Вместо определения искомой величины через среднее значение

Можно для каждого выполненного опыта вычислить

а затем найти как среднее арифметическое и далее абсолютную погрешность по формуле (3).

Оба способа дают близкие результаты.

Пусть, например, находится плотность цилиндрического тела:

ρ = 4m / π D²H,

причем непосредственно определяется три раза диаметр цилиндра D_i и его высота Н_i (i = 1, 2, 3). Тогда можно подсчитать

ρ _i = 4m / π D²_iH_i.

для каждого из трех измерений.

Среднее значение плотности можно найти, как обычно, по формуле:

< ρ > =∑ ρ _i /3,

а абсолютная погрешность определяется как

Δ ρ = 4, 3√ [∑ (< ρ > – ρ _i) /6].

Таблица 1.