Взаимосвязи временных рядов

Если имеются данные о нескольких временных рядах, то можно выяснить, имеется ли взаимосвязь между показателями, представленными этими временными рядами.

Пример 2. Имеются данные
x об уровне дохода у жителей региона – клиентов некоторой торговой организации и числа конкурентов y за 16 месяцев.

Необходимо определить, существует ли линейная связь между факторами х и у (взять уровень значимости a = 0, 05), и оценить величину этой связи. Если связь имеется, то нужно построить уравнение линейной регрессии с включённым в него фактором времени.

Выполнение

Введём исходные данные вместе с текстом в первые три столбца в ячейки A1: C17. Построим графики рядов. Видно, что оба ряда имеют ярко выраженную тенденцию. Вычисляем коэффициент парной корреляции между ними. Для этого в ячейку B19 вводим текст Rxy =, а в соседнюю C19 функцию

=PEARSON(B2: B17; C2: C17). Результат 0, 994 очень высок, но это не значит, что между показателями имеется столь сильная связь, так как коэффициент линейной корреляции может быть сильно завышен из-за наличия тенденции в каждом ряду (ложная корреляция). Для исключения воздействия фактора времени на формирование уровней ряда используют два способа исключения тенденции.

1. Метод отклонений от тренда. Для его реализации строится трендовая составляющая каждого ряда T и вычисляется разность между уровнями ряда и трендов. Вводим в D1 текст Tx, а в D2 вводим функцию =ТЕНДЕНЦИЯ(B2: B17; A2: A17; A2: A17; 1). (Для ввода функции необходимо нажать клавиши < Ctrl > + < Shift > + < Enter >). Для нахождения тенденции фактора y введём в ячейку E1 текст Ty а в ячейку E2 введём функцию

= ТЕНДЕНЦИЯ(C2: C17; A2: A17; A2: A17; 1).

В следующих двух столбцах вычисляем разницу между уровнями ряда и трендом. В ячейки F1 и G1 вводим текст x-Tx и y-Ty, а в F2 вводим формулу =B2-D2. Протягиваем формулу в диапазоне F2: G17. Вычисляем теперь коэффициент линейной корреляции между полученными данными, лишёнными тренда r ₁. Вводим в F19 текст r 1, а в G19 функцию =PEARSON(F2: F17; G2: G17). Результат 0, 711 меньше, чем между данными с трендовой составляющей, но он объективно показывает степень связи между факторами x и y.

Проверим, можно ли принять статистическую гипотезу о значимости коэффициента корреляции (и, соответственно о наличии связи между факторами). Вводим в F20 текст t-критерий, а в G20 формулу в виде: =ABS(G19)*КОРЕНЬ(14/(1-G19*G19)). Вычисляем критическое значение критерия, с которым сравнивается t-статистика . В ячейке F21 вводим текст t-критическое, а в G21 функцию =СТЪЮДЕНТРАСПОБР(0, 05; 14). Видно, что t-статистика больше критического значения, значит, коэффициент линейной корреляции значим, и между факторами имеется статистическая связь.

2. Метод последовательных разностей. Для его реализации вычисляются разности между последовательными уровнями рядов, которые при линейной тенденции не зависят от тренда. Введём в H1 текст dx, а в I1 - dy. В H3 вводим формулу =B3-B2 и копируем её в диапазон H3: I17. Вычисляем коэффициент линейной корреляции между рассчитанными разностями r ₂. Введём в H19 текст r2, а в I19 функцию = =PEARSON(H3: H17; I3: I17). Результат 0, 894 также меньше, чем между данными с трендовой составляющей.

Проверим, можно ли принять гипотезу о значимости коэффициента корреляции r2. Вводим в H20 текст t-критерий, а в I20 формулу: =ABS(I19)*КОРЕНЬ(14/(1-I19*I19)). Вычисляем критическое значение критерия, с которым сравнивается t-статистика . В ячейке H21 вводим текст t-критическое, а в I21 функцию =СТЪЮДЕНТРАСПОБР(0, 05; 13). t-статистика больше критического значения, что ещё раз подтверждает предположение о наличии связи между факторами.

Построим уравнение множественно регрессии . Выделим диапазон A23: C27. В ячейке A23 введём функцию = ЛИНЕЙН(C2: C17; A2: B17; 1; 1). Нажать < Ctrl > + < Shift > + < Enter >. Найдём из ячеек A23: C23 коэффициенты уравнения регрессии: .

Выводы:

1) Между уровнем дохода и количеством конкурентов имеется связь, то есть, если благосостояние потребителей растёт, то растёт и число организаций, предоставляющих блага.

2) Получено уравнение регрессии, по которому можно в любом году t по одному фактору делать прогноз другого.