структурных изменений

Тенденция ряда показывает, как монотонно изменяется показатель с течением времени. Однако, в реальных временных рядах тенденция может менять своё поведение.

Для моделирования ситуаций с изменением поведения тенденции существуют специальные приёмы. Рассмотрим их на примере.

Пример 3. Предприятие в течение 13 месяцев своего существования постоянно увеличивало свою прибыль, которая за это время выросла почти вдвое. Однако, на 14 месяце существования удалось получить дополнительное инвестирование и закупить современное оборудование, после чего темпы роста прибыли заметно увеличились. Имеется временной ряд прибыли предприятия за 15 месяцев. С помощью теста Чоу проверить на уровне значимости a=0, 05 предположение о том, что, какая модель тенденции лучше описывает временной ряд: общая линейная модель тенденции, построенная по всем 25 месяцам ряда, или кусочно-линейная, состоящая из двух линейных моделей, построенных по первым 14 и последующим 11 периодам времени. Методами регрессионного анализа построить эти модели. Определить, какая из моделей лучше и сделать прогноз на 26 и 27 месяц.

Выполнение

В ячейку A1 введём текст t =, а в B1 - Y=, в диапазон A2: A26 вводим номера месяцев 1, 2, …, 25, а в ячейки B2: B26 соответствующие значения прибыли. Выделим ячейки A2: D15 жёлтым цветом, а ячейки A16: D26 – розовым. Проверим по критерию Чоу целесообразность построения кусочно-линейной модели. Для этого с помощью функции ЛИНЕЙН рассчитаем параметры моделей.

Сначала рассчитаем параметры общей линейной модели. В ячейку F1 введём текст Общая линейная и ниже в F2 вводим функцию = ЛИНЕЙН(B2: B26; A2: A26; 1; 1). Получаем таблицу из 2 столбцов и 5 строк параметров модели. Значения коэффициентов общего линейного уравнения записаны в первой строке. Общее уравнение линейной тенденции имеет вид: . Кроме того, для критерия Чоу нужно знать суммы квадратов остаток регрессионной модели. Эти значения записаны в нижнем правом углу матрицы, выдаваемой функцией ЛИНЕЙН. Для общей модели остаточная сумма равна E ₀ = 336, 0.

Находим параметры первой и второй частей кусочно-линейной модели. Вводим в ячейку F8 текст Кусочно-линейная 1 и в ячейку F9 вводим формулу = ЛИНЕЙН(B2: B15; A2: A15; 1; 1). Уравнение регрессии имеет вид: , а остаточная сумма E ₁ = 10, 6. Затем вводим в ячейку F15 текст Кусочно-линейная 2 и в ячейку F16 вводим формулу = ЛИНЕЙН(B16: B26; A16: A26; 1; 1). Уравнение регрессии второй части кусочно-линейной модели есть , а остаточная сумма E ₂ = 69, 6.

Статистика критерия Чоу для парной регрессионной модели вычисляется по формуле: , где n - число уровней ряда (в данном случае число месяцев, равно 25). Вводим в ячейку I1 текст Статистика а в ячейку G1 - формулу =(G6-G13-G20)/(G13+G20)*21/2. Критическое значение равно значению обратного распределения Фишера, полученного по параметрам: a = 0, 05; k = 2 - степени свободы 1, равные числу параметров модели (их два: a и b); n - k - 2 = 21 – степени свободы 2. Вводим в I2 текст Критическое а в G2 - формулу =FРАСПОБР(0, 05; 2; 21). Статистика больше критического значения, что говорит о том, что кусочно-линейная функция лучше описывает временной ряд, чем общая модель.

Строим кусочно-линейную модель. Вводим в C1 текст Линейная, а в C2 вводим формулу =ТЕНДЕНЦИЯ(B2: B26; A2: A26; A2: A26; 1). Вводим в ячейку D1 текст Кусочно-линейная, а в ячейку D2 вводим формулу =ТЕНДЕНЦИЯ(B2: B15; A2: A15; A2: A15; 1). Затем для построения второй ветви линейного уравнения вводим в ячейку D16 формулу =ТЕНДЕНЦИЯ(B16: B26; A16: A26; A16: A26; 1). Построим график по полученным данным.

Рассмотрим другой метод построения модели с переменной структурой. Для этого воспользуемся фиктивной переменной. Пусть Z - фиктивная переменная, которая принимает значения:

Тогда общая регрессионная модель имеет вид: .

Для определения параметров модели a, b, c и d сформируем исходные данные в следующем виде. Перейти на Лист 2. В ячейки A1, B1, C1, D1 введём текст: Y, t, Z, Zt.

В первый столбец копируем значения уровней временного ряда.

Во второй столбец Листа 2 (в ячейки B2: B26) копируем ячейки A2: A26 из Листа 1. В столбец C листа 2 вводим значения переменной Z. В ячейки C2: C15 вводим число 0. В ячейки C16: C26 вводим число 1. В столбец D вводим произведение переменных . В ячейку D2 вводим формулу =B2*C2 и протягиваем её до D26.

Строим линейную регрессионную модель. Для этого в E2 вводим формулу =ТЕНДЕНЦИЯ(A2: A26; B2: D26; B2: D26; 1). В результате получаем модель линейной регрессии. Вычислим её числовые характеристики. Для этого в G2 введём функцию = ЛИНЕЙН(A2: A26; B2: D26; 1; 1). Проверим адекватность полученной модели. Коэффициент детерминации равен 0, 99 (ячейка G4), что говорит об очень высоком качестве регрессии.

Строим график регрессионной модели.

Таким образом, получена модель тенденции ряда со структурными изменениями, по которой можно делать анализ показателей и прогнозы. Так как ранее было показано, что модель с наличием структурных изменений лучше описывает данные, то в качестве прогноза нужно использовать уравнение регрессии второй части кусочно-линейной модели: . Следовательно, прогноз на 26 месяц , а на 27 месяц: .