Динамика вращательного движения.

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения Z является мерой инертности для вращательного движения и равен:

, где

m - масса материальной точки, r - расстояние от точки до оси Z.

Момент инерции системы материальных точек относительно оси вращения Z:

I_z =

Момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения Z:

dV, где

V - объём тела, r - расстояние от оси Z до элемента объёма тела dV,

- плотность тела.

Моменты инерции тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс и совпадающей с осью симметрии тела:

1) стержня длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню

,

2) обруча радиуса R (тонкостенного цилиндра)

,

3) диска (сплошного цилиндра) радиуса R

,

4) шара радиуса R

,

Момент силы относительно точки О:

,

где - радиус-вектор, проведённый из точки О к точке приложения силы, - сила. В скалярной форме:

,

где - плечо силы, - угол между и .

Момент силы относительно оси :

, где - составляющая силы, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси ,

Теорема Штейнера: , где - момент инерции тела относительно произвольной оси , - момент инерции этого же тела относительно оси, проходящей параллельной первой через его центр масс, а - расстояние между осями.

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси : , где - момент инерции тела относительно оси , а _z - его угловая скорость.

Кинетическая энергия катящегося тела: , где

- скорость центра масс тела, а I_c - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс.

Потенциальная энергия тела: , где h_c - высота центра масс тела относительно нулевого уровня.

Координата центра масс составного тела: ,

где и соответственно масса и координата центра масс i тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси z:

_z,

где - проекция на ось z результирующего момента внешних сил, действующих на тело,

_z- угловое ускорение, - момент инерции тела относительно оси вращения.

Работа при повороте тела на угол _z относительно оси :

_z, где

- проекция момента приложенной силы на ось .

Момент импульса материальной точки относительно точки О:

,

где - радиус-вектор, проведённый из точки О к материальной точке, - импульс. В скалярной форме:

L =l p,

Где: - плечо импульса, - угол между и .

Момент импульса твердого тела относительно оси вращения z:

L_z=I_z ω _Z