Линейное оптимизационное моделирование в экономике

Линейная оптимизационная задача по вариантам. 4

Транспортная задача. 7

Регрессионные зависимости и прогнозирование (подбор параметра, построение линии тренда) 14

В сфере управления сложными системами (например, в экономике) применяется оптимизационное моделирование, в процессе которого осуществляется поиск наиболее оптимального пути развития системы.

Критерием оптимальности могут быть различные параметры; например, в экономике можно стремиться к максимальному количеству выпускаемой продукции, а можно к ее низкой себестоимости. Оптимальное развитие соответствует экстремальному (максимальному или минимальному) значению выбранного целевого параметра.

Развитие сложных систем зависит от множества факторов (параметров), следовательно, значение целевого параметра зависит от множества параметров. Выражением такой зависимости является целевая функция

К = F(X₁, X₂,..., X_n), где К — значение целевого параметра;

Х₁, Х₂,..., Х_п — параметры, влияющие на развитие системы.

Цель исследования состоит в нахождении экстремума этой функции и определении значений параметров, при которых этот экстремум достигается. Если целевая функция нелинейна, то она имеет экстремумы, которые находятся определенными методами (н-р, метод градиента, с помощью частных производных).

Однако часто целевая функция линейна и, соответственно, экстремумов не имеет. Задача поиска оптимального режима при линейной зависимости приобретает смысл только при наличии определенных ограничений на параметры. Если ограничения на параметры (система неравенств) также имеют линейный характер, то такие задачи являются задачами линейного программирования. (Термин «линейное программирование» в имитационном моделировании понимается как поиск экстремумов линейной функции, на которую наложены ограничения.)

Задание 1. Рассмотрим в качестве примера экономического моделирования поиск вариантов оптимального раскроя листов материала на заготовки определенного размера.

Содержательная постановка проблемы. В ходе производственного процесса из листов материала получают заготовки деталей двух типов А и Б тремя различными способами, при этом количество получаемых заготовок при каждом методе различается.

Таблица 1. Способы раскроя заготовок

Необходимо выбрать оптимальное сочетание способов раскроя, для того чтобы получить 500 заготовок первого типа и 300 заготовок второго типа при расходовании наи­меньшего количества листов материала.

Формальная модель. Параметрами, значения которых требуется определить, являются количества листов материала, которые будут раскроены различными способами:

Х₁ — количество листов, раскроенное способом 1;

Х₂ — количество листов, раскроенное способом 2;

Х₃ — количество листов, раскроенное способом 3.

Тогда целевая функция, значением которой является количество листов материала, примет вид:

F = X ₁+ Х₂ + Х₃.

Ограничения определяются значениями требуемых количеств заготовок типа A и Б, тогда с учетом количеств заготовок, получаемых различными способами, должны выполняться два равенства:

10 X₁+ ЗХ₂ + 8Х₃ = 500;

ЗХ₁+ 6Х₂ + 4Х₃ = 300.

Кроме того, количества листов не могут быть отрицательными, поэтому должны выполняться неравенства:

Х₁ ³ 0; Х₂ ³ 0; Х₃ ³ 0.

Таким образом, необходимо найти удовлетворяющие ограничениям значения параметров, при которых целевая функция принимает минимальное значение.

Компьютерная модель. Необходимо найти решение задачи путем создания и исследования компьютерной модели в электронных таблицах Excel, воспользовавшись надстройкой электронных таблиц Поиск решения.