Кванторы

В математике большую роль играют утверждения о всеобщности данного свойства и о существовании хотя бы одного объекта, обладающего данным свойством. Для записи этих утверждений вводятся так называемые кванторы: квантор всеобщности ∀ и квантор существования ∃. Допустим, что некоторое высказывание S содержит переменную (неопределенный объект) х, поэтому будем записывать его в виде S (x). Тогда высказывание

(∀ x) S (x)

означает, что для всех х имеет место S (x), а высказывание

(∃ x) S (x)

состоит в утверждении, что существует хотя бы один объект х такой, что для него верно высказывание S (x).

Переменная, входящая в высказывание под знаком квантора, называется связанной переменной, ибо высказывание от этой переменной не зависит, подобно тому как сумма

_{i = n} ∑ ^mS_i

не зависит от индекса i. Связанную переменную можно заменить любой другой буквой, не совпадаюшей с остальными переменными, и от этого смысл высказывания не изменится. Переменная, которая не является связанной, называется свободной. Высказывание зависит только от свободных переменных, которые оно содержит.

Примеры высказываний с кванторами:

• (∀ х)(∀ у)(«брат»(х, у) ∧ «мужчина»(у)) ⊃ «брат»(у, x).
  Для всякого х и всякого у, если х — брат у и у — мужчина, то у — брат x.
• Если через D (x, y) обозначить высказывание «x является делителем у», то одно из соотношений, приведенных выше в качестве примера высказываний, изобразится в виде
  (∀ n)(> (n, «1») ⊃ (∃ p) D (p, n)).
• (∃ x) W (x) ⊃ (∀ x) W (x).
  Это соотношение верно для любого высказывания W (x) и показывает, что имеет место связь между кванторами существования и всеобщности. Из существования объекта х, для которого верно W (x), следует, что неверно утверждение, будто для всех х W (x) неверно.

Квантор — это тоже в сущности логическая связка. Приписывание квантора превращает высказывание в новое высказывание, которое содержит на одну свободную переменную меньше. Отличие от связок, которое мы рассматривали выше, состоит в том, что, кроме высказывания, надо указать еще свободную переменную, которую надо связать. Связывание переменной подразумевает подстановку вместо нее конкретных объектов. Если число объектов, которые могут быть подставлены вместо переменной, конечно, то кванторы можно рассматривать просто как удобные сокращения, ибо они могут быть выражены через логические связки — конъюнкцию и дизъюнкцию. Пусть переменная х может принимать n значений, которые мы обозначим буквами х ₁, х ₂,..., x_n. Тогда имеют место следующие эквивалентности:

(∀ x) W (x) ≡ W (x ₁) ∧ W (x ₂) ∧... ∧ W (x_n),

(∃ x) W (x) ≡ W (x ₁) ∨ W (x ₂) ∨... ∨ W (x_n).

6.10. Связка «такой, что»

Третья строка таблицы, приведенной в разделе 6.6, описывает конструкцию, которая высказыванию сопоставляет объект. В естественных языках эта конструкция употребляется чрезвычайно широко. Когда мы говорим «красный мяч», мы имеем в виду объект «мяч», который обладает свойством «красный», т. е. такой, что верно высказывание «красный» («мяч»). Высказывание об объекте мы переносим в прилагательное, относящееся к существительному, которым мы обозначили объект, в других случаях для этой цели могут служить причастия, причастные обороты, обороты со связками «который», «такой, что». Если мы пойдем дальше в этом анализе, то обнаружим, что и существительное, подобно прилагательному, указывает в первую очередь на определенное свойство (свойства) объекта. Слово «мяч», как и слово «красный», изображает некоторый класс объектов и ему можно сопоставить одноместный предикат «является мячом»(х), или просто «мяч»(х). Тогда «красный мяч» это такой предмет a, что верны высказывания «мяч»(a) и «красный»(a), иначе говоря, верно высказывание

«мяч»(a) ∧ «красный»(a)

Обратите внимание: в логической записи фигурирует три независимых элемента — буква a, предметы «мяч» и «красный», а в записи на естественном языке их остается только два «красный» и «мяч». Однако буква a, которую в логическую запись вводят для того, чтобы идентифицировать данный объект, отличить его от других, и которую поэтому называют идентификатором, не совсем исчезла в естественной записи. Она перешла в понятие «мяч», превратив его из свойства в предмет! В отличие от слова «красный» слово «мяч» идентифицирует — вы можете сказать «это тот мяч, который мы потеряли вчера» или «я имею в виду тот самый мяч, о котором говорил в предыдущей фразе».

Что же такое «предмет»?