Инвестирование и опционы

Опционы дают инвесторам возможность варьировать степень риска, которому они подвергаются, владея теми или иными видами финансовых активов. Для этого заключаются опционные контракты на соответствующие виды активов. Возможные варианты легко пояснить с помощью доходных диаграмм (payoff diagrams), иллюстрирующих взаимосвязь между стоимостью опциона (откладываемой по вертикальной оси) и ценой актива, лежащего в его основе (по горизонтальной оси). На рис. 15.1 показано изменение доходов владельца опциона " колл" при его немедленном истечении от курса акций, лежащих в его основе текущее значение которого равно 100 долл. Цена " страйк" также равняется 100.

На дату истечения доход владельца опциона " колл" равен max (Sj- - 100, 0), где Sj-— курс акций на дату истечения опциона.5 Как видно из рис. 15.1, справа от отметки в 100 долл. стоимость опциона " колл" возрастает при увеличении курса. Однако левее значения 100 долл. опцион " колл" теряет свою ценность.

Курс акций на дату истечения

Рис. 15.1. Доходная диаграмма для опциона " колл "

Примечание. Цена исполнения для опциона " колл" равняется 100 долл.

Рассмотрим теперь доход для владельца опциона " пут", который равен max (100 ^— S-г, 0). Доходная диаграмма для опциона " пут" приведена на рис. 15.2. Если курс акций на дату истечения оказывается меньше, чем цена исполнения, стоимость опциона " пут" возрастает (до максимального значения, составляющего 100) по мере того, как курс становится все ниже. Если, наоборот, курс превышает цену исполнения, владелец опциона " пут" доход не получает.

Помимо описанного выше использования опционов с целью корректировки степени риска, покупка или продажа опционов дает возможность выйти на фондовый рынок лицу, не владеющему подлежащими активами. Посмотрим, как это происходит. Поскольку стоимость опциона " колл" представляет собой лишь часть стоимости подлежащих акций, вложение в опционы " колл" той же суммы, которая была бы вложена в акции, приводит к возникновению своеобразного " рычага". Предположим, например, что вы играете на повышение курса акций и собираетесь инвестировать с этой целью средства в объеме 100000 долл. Пусть безрисковая процентная ставка составляет 5% годовых и дивиденды по акциям не выплачиваются. Сравните ставку доходности по своему портфелю ценных бумаг для одногодичного периода в случае применения трех различных инвестиционных стратегий:

1. Приобретение на 100000 долл. акций.

2. Приобретение на 100000 долл. опционов " колл".

3. Инвестирование 10000 долл. в опционы " колл", а остальной суммы — в 6ei рисковые ценные бумаги.

Курс акций на дату истечения

Рис. 15.2 Доходная диаграмма для опциона «пут».

Примечание. Цена исполнения для опциона " пут" равняется 100 долл.

Предположим, что курс акций составляет 100 долл., а цена опциона " колл" равняется 10 долл. При таких обстоятельствах реализация первой стратегии означает покупку пакета в 1000 акций, а в случае реализации второй стратегии — приобретение опциона на 10000 акций. Давайте теперь проанализируем соответствующие доходы Они показаны на рис. 15.3. '

Рис. 15.3. Доходные диаграммы для различных стратегий игры на повышение курса акций

На рис. 15.3 курс акций откладывается по горизонтали, а ставка доходности портфеля — по вертикали. Отображающий первую стратегию (см. пунктирную линию на рис. 15.3) доходный график представляет собой прямую линию с точкой безубыточности, соответствующей курсу акций, равному 100 долл. При таком значении курса доходность портфеля будет нулевой. Если курс оказывается выше 100, то доходность возрастает на 1% при каждом повышении курса акций на один процент. Если курс ниже 100, ставка доходности будет уменьшаться на 1% при каждом падении курса акций на один процент.

В случае второй стратегии — штриховая линия на рис. 15.3 — точка безубыточности достигается при курсе 110 долл. Справа от этой точки наклон превышает наклон линии для первой стратегии в 10 раз. Это связано с тем, что опцион " колл" обеспечивает такой же потенциал прибавки к доллару, как и акция, а в случае второй стратегии у вас есть в 10 раз больше опционов " колл", чем акций при применении первой стратегии. Если, однако, курс акций окажется меньше 100, вы теряете все вложенные в соответствии со второй стратегией средства, и ставка доходности оказывается равной -100%.

Контрольный вопрос 15.3.

Четвертая стратегия состоит в том, чтобы вложить 96000долл. В безрисковые ценные бумаги и 4000 долл. – в опционы. Какова минимальная гарантированная ставка доходности? Чему равен наклон прямой на доходной диаграмме справа от точки, соответствующей цене исполнения?

(15.1)

(15.2)

В СНОСКЕ…

Таблица 15.6. Создание синтетического опциона «колл»

(15.4)

(15.5)

Таблица 15.7. Таблица расчета стоимости опциона

Таблица 15.8. Факторы, определяющие цену опционов

В случае второй стратегии — штриховая линия на рис. 15.3 — точка безубыточно­сти достигается при курсе. 110 долл. Справа от этой точки наклон превышает наклон линии для первой стратегии л 10. раз. Это связана с тем, что опцион " колл" обеспечи­вает такой же потенциал прибавки к доллару, как и акция, а в случае второй страте­гии у вас есть в 10 раз больше опционов " колл", чем акций при применении первой стратегии. Если, однако, курс акций окажется меньше 100, вы теряете все вложенные в соответствии со второй стратегией средства, и ставка доходности оказывается рав­ной—100%.

Доходная диаграмма для третьей стратегий показана нарйс.'15.3 сплошной линией с изломом. Справа от курса акций, равного 100, она имеет тот же наклон, что и линия для стратегий'свложейием'в199% акций(штриховаялиния), но левее этой точки она горизонтальна и соответствует -5, 5%. Это обусловлено тем, что в случае падения кур­са акций худшее, что может произойти, — так это то, что вы потеряете свои 10000 долл., вложенные в опционы " колл". При этом 90000 долл., вложенные в безрисковые ценные бумаги, увеличатся до 94500 долл. и, таким образом, минимальная ставка доходности по вашему портфелю будет равна ~5, 5%*. Как видите, третья стра­тегия дает нам пример использования опционов для получения минимальной гаран­тированной доходности7.,

Все три рассмотренные стратегии, по определению, рассчитаны на повышение курса акций, поскольку они будут применяться лишь в том случае, если у инвестора есть уверенность в подобном, развитии событий на фондовом рынке. Однако выбор наилучшей из них зависит от его, представлений относительно динамики цен и степе­ни рискованности вложений.

Предположим, например, что прогнозное состояние экономики можно описать с помощью трех сценариев, как; это показано в табл. 15, 3.; Вы считаете, что с вероят­ностью 0, 2 будет наблюдаться бум и курс акций возрастет в течение года на 50%, с < вероятностью 0, 6 экономика будет находиться в нормальном состоянии и рост на ' рынке составит 10%, а с вероятностью 0, 2 произойдет спад и курс акций снизится | на 30%.

6 В случае третьей стратегии выражение для полной доходности портфеля ценных бумаг имеет вид

7 В самом начале использования таких операций создали первый с США взатмный4 фонд,» деятельности которого'использовались стратегии^ применением опционов, — Мопеу Маг1се1/ОрИоп5 1пуегитеп< 5, 1пс. В их стратегии 90% актив вкладывалось в ценные бумаги, а 10% — в диверсифицированный портфель опционов " колл ".

В табл. 15.3показана ставка доходности для каждой из стратегий при реализации каждого из сценариев. Обратите внимание на строку, соответствующую буму. В случае первой стратегии (100% инвестиций в акции) ставка доходности составит 50%., При применении второй стратегии (100% в опционы " колл") ваши опционы на дату исте­чения будут стоить 500000 долл., а ставка доходности составит 400%. Для третьей стратегии (10% инвестиций в опционы " колл") ваши опционы будут стоить 50000долл., а облигации — 94500 долл., так что ставка доходности составит

Сравните теперь распределение вероятности доходности для этих трех стратегий по всем трем сценариям. Обратите также внимание на тот факт, что ни одна из перечис­ленных стратегий не приводит к лучшему результату во всех трех случаях. Вторая стратегия (100% покупка опционов " колл") лучше всего срабатывает в случае бума в экономике, но оказывается худшей в двух других случаях. Третья стратегия дает луч­ший результат при спаде, но оказывается хуже всего в случае развития других сцена­риев. Первая стратегия Оказывается оптимальной при нормальном состоянии эконо­мики, но в двух других случаях попадает на второе место.

Таким образом, ни одну из стратегий нельзя считать лучшей во всех отношениях. В зависимости от того, насколько допустимым является для инвестора риск, он может выбирать любую из них. Действительно, инвестор, очень неохотно идущий на риск, может предпочесть вложить всю сумму в безрисковыё ценные бумаги, чтобы в любом! случае получить 5%-ную доходность.

Контрольный вопрос 15.3.

Четвертая стратегия состоит в том, чтобы вложить 96000долл. В безрисковые ценные бумаги и 4000 долл. – в опционы. Какова минимальная гарантированная ставка доходности? Чему равен наклон прямой на доходной диаграмме справа от точки, соответствующей цене исполнения?

15.3. ПАРИТЕТ ОПЦИОНОВ " ПУТ" И " КОЛЛ"

В предыдущем разделе мы показали, что при использовании стратегии, предусматривающей вложение части средств в безрисковые ценные бумаги, а части — в опцио-ы " колл", можно создать портфель с гарантированной минимальной стоимостью. тот портфель характеризуется таким же наклоном графика цена/доходность, что и Яклон графика в случае вложения в акции, лежащие в основе опциона. Существует и)№й путь получения таких же денежных доходов от инвестиций: покупка акций и щиона " пут".

В табл. 15.4а и на рис. 15.4а показаны платежи, относящиеся к двум отдельным состав­ляющим такой стратегии, которая именуется " защищенный опцион пут" (" рпйесйуе ри1") и проиллюстрировано, как они дополняют друг друга, обеспечивая хеджирование акций. Минимальная стоимость такого портфеля равна цене исполнения 100 долл.

Анализ другой инвестиционной-стратегий, направленной на хеджирование вложе­ний в акции и предусматривающей покупку опциона " колл" и инвестирование части средств в безрисковые облигации, дан в табл. 15.4Ь и на рис. 15.4Ь. Портфель, со­стоящий из акций плюс европейский опцион " пут" (с ценой исполнения Е) оказыва­ется эквивалентным портфелю, состоящему из безрисковой бескупонной облигации (с номинальной стоимостью Е) и европейского опциона " колл" (с ценой исполнения Е)8. В соответствии с законом единой цены они должны иметь одинаковую стоимость.

Рис. 15.4а. Доходная диаграмма для стратегии инвестирования с использованием защищенного опциона " пут"

* В случае американских опционов, которые могут быть выполнены до даты истечения, этора-венство несколько изменяется.

Рис. 15.4Ь. Доходная диаграмма для стратегии инвестирования на основе бескупЬнной облигации опциона " колл"

Связь между ценами описывается следующим соотношением:

(15.1)

где 8 — курс акций, Е — цена исполнения опциона, Р — цена опциона " пут", г — безрисковая процентная ставка, Г-— промежуток времени до даты истечения опцио­на, а С — цена опциона " колл" 9.

Уравнение 15.1 представляет собой уравнение Паритета опционов " пут" и " колл" (ри1-са11 рагНу ге1а1юп). Помимо использования с целью определения цены любой из четырех ценных бумаг по стоимости трех других, его можно применить также в каче­стве своеобразного " рецепта" для синтезирования одной из указанных ценных бумаг с помощью остальных трех. Например, переписывая уравнение 15.1 в несколько иной форме, мы находим, что опцион " колл" можно получить в результате следующих дей­ствий: инвестор приобрел акции, одновременно одолжив сумму, соответствующую приведенной стоимости цены исполнения (т.е. продал коротко бескупонную и без­рисковую облигацию с номинальной стоимостью Е) икупил опцион " пут":

(15.2)

Уравнение 15.2 дает некоторое представление о том, какова природа опциона " колл". В соответствии с этим уравнением опцион " колл" можно разложить на три части.

1. Покупка акций.

2. Заем денег для покупки части акций (применение эффекта рычага).

3. Страхование от риска снижения курса акций (покупка опциона " пут").

? До этого момента в обсуждении предполагалось, что выплат дивидендов по акциям до срока истечения опциона не происходит. В общем случае возможная выплата дивидендов усложняетурав-нение паритета опционов " пут" и " колл". При этом, однако, одним из частных случаев, в котором корректировка уравнения паритета очевидна, оказывается случай выплат совершенно определенного и постоянного процентного дохода по дивидендам а один раз в год. В этом случае уравнение пари­тета принимает вид

Соотношение 15.2 можно также рассматривать как формулу для конвертации опциона " пут" в опцион " колл" и обратно. Предположим, например, что значения переменных в правой части уравнения 15.2 составляют:

> У=^100долл., ^? =100долл., 7'^1год, т=0, 08иР=10долл.

В таком случае стоимость опциона " колл", С, должна быть равна 17, 41 долл. Вы­числяется она так:

С=100-100/1, 08+10=17, 41

Для того чтобы увидеть, почему так происходит, предположим, что С равна 18 долл. и отсутствуют препятствия для арбитража. В таком случае цена-опциона " коля" слиш­ком высока. Для арбитражера в такой ситуации есть смысл в том, чтобы продать опцио­ны " колл" и купить их эквивалент е применением стратегии замещения. Другими сло­вами, продать дорого и купить дешево. Общие расходы на покупку акций составляют 100 долл.; меньшая часть, 92, 59 долл. берется взаймы. Общие издержки при использова­нии кредитования для покупки акций составляют, таким образом, 7, 41 долл. Хеджиро­вание торговых позиций от риска снижениякурса (покупки опциона " пут") обходится в 10 долл., в результате чего общая стоимостьсинтетическоро опциона " колл" составляет 17, 41 долл. Биржевой трейдер будет продавать опционы " колл" по цене 18 долл., зараба­тывая 0, 59 долл. разницы между ценой? опциона " колл" и затратами на создание синте­тического опциона " колл", составляющими 17, 41 долл. В табл. 15.5 показаны операции, которыми сопровождаются описанные выше процессы.

Некоторые дополнительные сведения о характере взаимосвязей между опционами " пут", опционами " колл", акциями и облигациями можно получить, перегруппировав слагаемые в уравнении 15.2 следующим образом:

В таком виде уравнение паритета опционов " пут" и " колл" свидетельствует о том, что

• если курс акций равен приведенной стоимости цены исполнения опциона, то цена опциона " колл" равна цене опциона " пут";

• если курс акций превышает приведенную стоимость цены исполнения опциона, то цена опциона " колл" превышает цену опциона " пут";

• если курс акций меньше приведенной стоимости цены исполнения опциона, то цена опциона " пут" превышает цену опциона " колл".

15.4. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЧИВОСТИ КУРСА АКЦИЙ НА ЦЕНУ ОПЦИОНА

Чем выше изменчивость курса акций, тем выше цены и опционов " пут", и опцио­нов " колл" на эти акции. Для того чтобы понять, почему это происходит, рассмотрим случай, в котором цена интересующего инвестора пакета акций может принять через год, считая с сегодняшней даты, только одно из двух значений — либо 120 долл., либо 80 долл. — причем каждое из них с вероятностью 0, 510.

Таким образом, ожидаемая (или, говоря иначе, средняя) цена пакета акций к кон­цу года составит 0, 5 х 120 долл. + 0, 5 х 80 долл. = 100 долл.

Рассмотрим теперь бпцион " колл" на акции с ценой исполнения 100 долл., дата истечения для которого наступает через один год. При наступлении срока истечения опцион " колл" либо принесет доход в 20 долл., если цена пакета акций составит 120 долл., либо не будет реализован, если цена составит 80 долл. Таким образом, ожи­даемые (средние) поступления по опционам " колл" равны 0, 5 х 20 долл. +0, 5х0= 10 долл.

Предположим, что цена пакета акций становится более изменчивой, при этом его ожидаемая (средняя) в конце года цена остается прежней. Предположим, например, что два возможных значения цены акций в конце года равны теперь 200 долл. и О, каждое из них может наблюдаться с вероятностью 0, 5.

10 В этом разделе использование одинаковых по своему значению терминов " курс акций " и " цена акций " обусловлено стилистическими требованиями. В рассматриваемых примерах пакет акций со­стоит из 1 акции. — Прим. ред.

Ожидаемая к концу года цена пакета акций по-прежнему равна 100 долл. (0, 5 х 200 долл. + 0, 5 х 0), однако изменчивость цены теперь значительно выше. Ожидаемая величина денежных платежей по опциону " колл" составит теперь 50 долл. {0, 5 х 100 долл. + 0, 5 х 0), что выше прежнего на 40 долл. Понятно, что цена опциона " колл" возрастет. Таким образом, мы видим, что повышение изменчивости цени (при неизменной текущей цене акций) приводит к увеличению' ожидаемых доходов по оп­ционам " коля" на эти акции и, таким образом, к повышению складывающейся цены на них. Такое же'утверждение справедливо и для опционов " пут".

Аналогичные соображения применимы и в более общем случае — прц непрерыв­ном распределении вероятностей для цены акций, лежащих в основе опциона. Доход от опциона на дату истечения неможет быть отрицательным. В худшем.случае опци­он ничего не будет стоить и контракт не будет выполняться. Таким образом, распре­деление вероятностей для доходов по опционам при нуле обрезается. Это приводит к тому, что ожидаемые доходы по опционам растут тем больше, при неизменном значе­нии ожидаемых (средних) доходов по акциям, чем больше изменчивость цены подлежащих акций.

Итак, усиление изменчивости курса акций при неизменном текущем курсе и ожи­даемой доходности акций приводит к повышению ожидаемой доходности опционов " пут" и опционов " колл'* на эти акции. Следовательно, при повышении изменчиво­сти курса акций возрастают цены на опционы " пут" и " колл". Более того, из уравне­ния паритета опционов " пут" и " колл" следует, что повышение изменчивости курса акций должно приводить к одинаковому росту цен на опционы " колл" и соответст­вующие опционы " пут" (т.е. опционы " пут", имеющие тот же срок истечения и цену выполнения, что и опцион " колл").

15.5. ДВУХСТУПЕНЧАТАЯ (БИНОМИАЛЬНАЯ) МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ

Как мы уже видели при рассмотрении уравнения паритета опционов " пут" и " колл" (уравнение 15.2), с его помощью можно выразить цену опциона " колл" через курс подлежащих акций, безрисковую процентную ставку и цену соответствующего опциона " пут". Однако было бы желательно иметь возможность рассчитывать цену на опцион " колл", не зная цену на опцион " пут". Для этого необходимо сделать некото­рые предположения относительно распределения вероятностей для предполагаемого в будущем курса акций.,;

Предположим, что курс акций может принимать при наступлении срока истечения опциона только одно из двух возможных значений. Несмотря на то что. такое предпо­ложение нереалистично, подобная двухступенчатая модель (^у/о-5Ы1е тоое!) создает основу для более реалистичной и широко используемой на практике биномиальной мо­дели (Ьшопиа! тоае!) оценки стоимости опционов. Интуитивное представление о стоимости опционов на основании двухступенчатой модели ведет также и к модели Блэка—Шоулза.

Метод, используемый в данном случае, подобен тому, что применялся для получе­ния уравнения паритета опционов " пут" и " колл". При использовании только акций и безрискового займа конструируется синтетический опцион " колл". Далее в соответ­ствии с законом единой цены определяется цена опциона " колл", которая должна равняться цене построенного таким образом синтетического опциона " колл".

Рассмотрим одногодичный опцион " колл" с ценой исполнения 100 долл. Мы исхо­дим из того, что цена подлежащего пакета акций в данный м& мент составляет 100 долл. и может; вырасти «ли уиасть в течение года на 20%. Таким образом, на дату истечения опциона, через год, считая от сегодняшней даты,, цена может оказаться равной либо 120 долл., либо 80 долл. Безрисковая: процентная ставка равна 5% годовых.

Сравним теперь доход по опционам " колл" с доходом портфеля, состоящего из акций, покупка которых частично финансировалась с использованием средств, полу­ченных в кредит по безрисковой ставке. Поскольку в качестве обеспечения займа вы­ступают сами акции, максимальная сумма, которую инвестор может получить в виде займа под безрисковую процентную ставку, соответствует приведенной стоимости ак­ций, исходя из минимально возможной через год их цены. Минимальная цена равна 80 долл., таким образом сумма, которую можно получить взаймы сегодня, равна 80 долл. / 1, 05 = 76, 19 долл. Доходы по этому портфелю находятся в следующей зави­симости от курса акций через год.

' Далее следует найти, какая часть пакета акций необходима для дублирования дохо­да по опциону " колл". Такая часть называется коэффициентом хеджирования (Ьей^е гапо) опциона. В более широком смысле коэффициент хеджирования в двухступенча­той модели представляет собой разность между двумя возможными денежными пла­тежами по опциону, делённую на разность двух возможных предельных цен пакета подлежащих акций: В данном случае это

Таким образом, если бы мы купили 1/2 пакета акций и заняли для этих целей только 38, 095 долл., у нас получился бы синтетический опцион " колл". Сумма займа представляет собой максимальную сумму, которая может быть совершенно опреде­ленно возвращена с процентами по наступлении срока истечения. Поскольку в нашем примере худший из возможных результатов для половины пакета акций составляет 40 долл., подлежащая займу.сумма равна приведенному значению 40 долл., дисконти­рованному по безрисковой процентной ставке 5%, что составляет 38, 095 долл.

В табл. 15.6 показаны денежные платежи по самому опциону " колл" и посинтети-ческому опциону " колл", генерируемому таким дублирующим портфелем.

В соответствии с законом единой цены опцион " колл" и соответствующий ему дублирующий портфель (синтетический опцион " колл") должны иметь одинаковую стоимость, в результате чего цена опциона " колл" должна равняться

С =0, 5^-38, 095 долл. = 50 долл. - 38, 095 долл. =11, 905 долл.

15.6. ДИНАМИЧЕСКОЕ ДУБЛИРОВАНИЕ ОПЦИОНОВ И БИНОМИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ

Рабочая книга Достаточно очевидно, что предположение о существовании через год |Д| только двух возможных значений курса акций является совершенно нереальным. Для того чтобы сделать наш анализ более реалистичным, мы 15.6 дополнительно разделив годичный срок на два периода по полгода и предположим, что курс акций может вырасти либо снизиться в течение каждого полугодия на Ю долл. Таким образом, за год цена пакета акций может измениться максимально на 20 долл. в сторону повышения или понижения. Теперь в конце года будут существовать три возможных курса акций (120 долл., 100 долл. или 80 долл.), а соответствующие до­ходы по опциону " колл" составят 20 долл., О и 0.

Используемый метод состоит в нахождении стратегии инвестиционного самофинан­сирования (кЙГ-йпапсшй №уе51теп<: 51га1е8у), способной продублировать структуру де­нежных платежей (доходов) по опциону " колл" Эта стратегия оказывается динамиче­ской, требующей корректировки количества акций и объема займа по истечении шес­ти месяцев в соответствии со сложившимся к этому моменту курсом акций. Примем также, что после начального вложения денег инвестор не добавляет и не забирает средств.,! ''": ''! ' ' ' • ' 1! •''" '' • •

В каждый момент времени данная стратегия сводится к тому, что уже было рас­смотрено в приведенной в предыдущем разделе двухступенчатой модели. На рис. 15.5 соответствующие операции показаны в виде дерева решений.

<

Начальный курс акций составляет 100 долл. (точка А). Вначале осуществляется по­купка 1/2 пакета акций за 50 долл., для чего берется заем в размере 45 долл. Таким образом, чистое вложение собственных денежных средств составляет 5 долл. В конце первого шестимесячного периода курс акций составляет либо 110 долл. (точка В), ли­бо 90 долл. (точка С). 13сли ситуация соответствует точке В, следует дополнительно получить заем в размере 55 долл. и купить вторую половину пакета акций. Если же реализуется ситуация, описываемая точкой С, то следует продать акции и погасить за­ем в 45 долл. Применение такой стратегии обеспечивает к концу года в точности те же денежные платежи, что и реализация опционного контракта.

Данная стратегия после первоначального вложения денежных средств основана на полном самофинансировании. Это означает, что до даты истечения опциона инвестор не вносит дополнительных средств и не забирает средств. Данный результат следует ив того, что, поскольку начальные затраты на применение самофинансирующейся ди­намической стратегии для формирования портфеля, дублирующего денежные платежи по опциону, составляют 5 долл., в соответствии с законом единой цены сумма в 5'долл. и должна выражать стоимость опциона.

(Рассмотренная выше модель оценки стоимости опциона более совершенна, чем двухступенчатая модель. Она называется биномиальной моделью оценки стоимости опциона11 (Ыпопиа! орйоп-рпств тоае1). Большая реалистичность и точность в биноми­альной модели достигаются при делении промежутка времени в один год на все меньшие и меньшие интервалы. Биномиальные модели оценки стоимости опционов широко применяются на практике. Число используемых промежутков времени зави­сит от требуемой в данном конкретном случае точности.

15.7. МОДЕЛЬ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ОПЦИОНОВ БЛЭКА-ШОУЛЗА

Рабочая книга Более реалистичная и часто используемая на практике модель оценки стоимости опционов на акции — это модель Блэка—Шоулза". При ее выводе используются соображения, аналогичные 15.7 описанным выше, однако при этом предполагается осуществление не­прерывной корректировки дублирующего портфеля.

В исходную формулу Блэка—Щоулза для определения цены европейского опциона " колл", входят пять параметров, значение четырех из которых доступны инвесторам:

курс акций 5, цена исполнения Е, безрисковая процентная ставка (непрерывно на­числяемая процентная ставка в пересчете на год для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения, равным сроку истечения опциона) г, и промежуток времени до срока истечения опциона Т.

Эта формула имеет вид:

(15.4)

где 13

С — цена опциона " колл"

•У — курс акций

Е — цена исполнения опциона.

К -— безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая процентная ставка

(в пересчете на год) для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения, равным сроку истечения опциона))

Г—промежуток времени до срока истечения опциона в годах

а— риск подлежащей акции, измеряемый стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент (в расчете на год)

1п—натуральный логарифм

е — основание натурального логарифма (приблизительно 2, 71828)

М(а) — вероятность того, что значение нормально распределенной переменной меньше < /

" По «опросам, связанным с развитием биномиальной модели, см. Сох, Лож$, ат1 КиЫпЛет, " Ор1юп Рпсту А ЗтрН^еЛ АрргоасН ", Лита! о/ Ппапсю! есопопчс!, 7 (1979), 229-263.

12 РксНег В1ас1с, ап(1 А/угоп ИсШез, " ТНе рпст^ о/ ОрИом апй ОЛег Согрога1е ЫаЫИИе5 ", Лита1 о/РоПНса! Есопоту, 81 (Мау/Лпе 1973).

13 Непрерывно начисляемая ставка доходности равна натуральному логарифму (1+ ставка до­ходности).

Выражение для стоимости опциона " пут" можно получить, произведя подстановку величины С из уравнения паритета опционов " пут" и " коля", т.е. воспользовавшись соотношением Р = С - 8 + Ее'^. В результате получаем формулу для нахождения стоимости опциона " пут":

При выводе своего уравнения Блэк и Шоулзпредположили, чтоДо даты истечения опциона выплата дивидендов не производится. Мертон обобщил эту модель, добавив к ней возможность получения постоянного дивидендного дохода, ' №14 В результат^ бы­ла получена формула для оценки стоимости опциона с учетом дивидендов:

(15.5)

Обратите внимание на тот факт, что ожидаемая доходность акций в выражении для оценки стоимости опциона в явном виде не фигурирует. Ее влияние осуществля­ется через изменение курса акций. Любые изменения в ожиданиях Относительно бу­дущего курса акций или ожидаемой доходности от инвестиций в акции будут приво­дить к изменению курса акций и, таким образом, к изменению стоимости опциона " колл". Однако при любом заданном курсе акций цену опциона можно определить и не зная ожидаемой доходности акций. Финансовые аналитики, спорящие по поводу ожидаемой доходности акций, вполне могут, исходя из складывающегося курса акций, прийти к единому мнению относительно цены опциона.

В реальной ситуации ни изменчивость (о), ни дивидендная доходность акции (а) не известны с полной определенностью, и опыт свидетельствует о том, что обе эти величины подвержены случайным изменениям с течением времени. На практике ис­пользуются специально разработанные модели, учитывающие вероятностный характер этих переменных. Расчет с использованием формулы оценки стоимости опциона с корректировкой по выплате дивидендов, выраженной уравнением 15.5, легко прово­дится с применением электронных таблиц. Один из примеров таких расчетов включен в качестве приложения к этому учебнику.

Для удобства представим информацию в виде таблицы, подобно тому, как это сде­лано при расчете приведенной стоимости в главе 4; Предположим, например, что мы хотим рассчитать стоимость опционов " колл" и " пут" сроком на шесть месяцев с це­ной исполнения 100 долл., для которых курс подлежащих акций равен 100 долл., ди­видендная доходность составляет 3% годовых, а изменчивость курса акций равна 0, 20. Безрисковая ставка равна 8% годовых. Исходные и выходные данные программы оценки стоимости опционов представлены в табл. 15.7.

Таблица 15.7. Таблица расчета стоимости опциона

v " КоЬеП С. МеНоп, " ТНеогу о/КаНопа! ОрНоп Рпст^", Ве11Лита1 о/ Мапаутеп! 8с1епсе, 4 (Зрппе 1973).

В табл. 15.8 кратко охарактеризовано влияниешести исходных параметров на цены опционов " колл" и опционов " пут", всоответствии с уравнением 15.5.

Эта таблица интерпретируется следующим образом.

• Увеличение курса подлежащих акций приводит к росту цен на опционы " колл" и снижению цен на опционы " пут".

• Увеличение цены исполнения приводит к снижению цен на опционы " колл" и росту цен на опционы " пут".

• Усиление изменчивости курса акций приводит к росту цен как на опционы " колл", так и на опционы " пут".

• Увеличение промежутка времени до даты истечения опциона приводит к росту цен на опционы " колл" и росту цен на опционы " пут" 15.

• Увеличение процентной ставки приводит к росту цен на опционы " колл" и снижению цен на опционы " пут".

• Увеличение дивидендной доходности приводит к снижению цен на опционы " колл" и росту цен на опционы " пут".

В частном случае, когда курс акций, лежащих в основе опциона, равен приведен­ному значению цены " страйк" (т.е.

), для расчета цен опционов можно ис­пользовать удобную приближенную формулу

Такое приближение справедливо и для цены опционов " пут". Таким образом, если курс акций равен 100, цена " страйк" равна 108, 33 долл., срок истечения составляет один год, безрисковая процентная ставка составляет 8%, выплаты по дивидендам рав­ны нулю, а изменчивость курса равняется 0, 20, приблизительная стоимость как оп­циона " колл", так и опциона " пут" равна 0, 08 цены акций, или 8 долл16.

Если для расчета соответствующих цен на такие опционы воспользоваться точной формулой (уравнение 15.5), окажется, что приближенная формула дает достаточно точные результаты:

15 Это относится только к американским опционам.

16 Обратите внимание на тот факт, что процентная ставка в приближенную формулу невходит.

15.8. ПОДРАЗУМЕВАЕМАЯ ИЗМЕНЧИВОСТЬ

Рабочая книга Подразумеваемая изменчивость (ппрИес! уо1а1Ш1у) определяется как такое

Ш значение о, при котором текущая рыночная цена опциона равна значе-1^ нию, рассчитанному с использованием формулы для оценки стоимости 15.8 опциона. Предположим, что В рассмотренном выше примере мы имеем значения, приведенные в левой части таблицы (включая цену 7, 97 долл. для опциона " колл")

Таблица 15.8. Факторы, определяющие цену опционов

Подставив эти величины в уравнение 15.6 и решив его относительно о; найдем изменчивость курса при такой цене опциона. В данном случае подразумеваемая из­менчивость курса акций равна 0, 2.

На чикагской бирже по торговле опционами СВОЕ строится индекс подразуме­ваемой изменчивости для индекса 5& Р 100, предназначенный для использования в качестве основы при заключении новых фьючерсных и опционных контрактов на базе подразумеваемой изменчивости17. Этот индекс подразумеваемой изменчивости (У1Х) предназначен для минимизации статистического отклонения при использовании ин­формации на основе значений восьми опционов на индексы 5& Р 100 со сроком исте­чения около 30 дней.

На рис. 15.6 показаны значения индекса подразумеваемой изменчивости У1Х за период с 1986 года по 1993 год. Видно, что в течение этого промежутка времени на­блюдались некоторые флуктуации этого индекса. Во время обвала на фондовом рынке в октябре 1987 года наблюдается высокий пик. В дальнейшем значение индекса вер­нулось к исходному значению.

77 Детальное описание построения индекса У1Х на бирже СВОЕ можно найти у К. Е. }УНа1еу, " ВетаНуез оп Маг1се1 Уо1аИИ(у: Неарп^ Гоой 1лп^ Оуегаие ", Лита1 о/ Ветайуе5 (Ра11 1993), рр. 80-82.

15.9. АНАЛИЗ УСЛОВНЫХ ТРЕБОВАНИЙ:

КОРПОРАТИВНЫЕ ОБЛИГАЦИИ И АКЦИИ

Рабочая книга M

Анализ условных требований (contingent claims analysis) опирается на рассмотренную ранее методику создания синтетического опциона. В этом разделе мы покажем ее применение для оценки стоимости долговых обязательств и капитала фирмы при условии, что имеется информация об общей стоимости фирмы.

Наша гипотетическая фирма Debtco, проводящая операции с недвижимостью, выпустила ценные бумаги двух типов: обыкновенные акции (1 миллион акций) и бескупонные облигации общей номинальной стоимостью в 80 млн долл. (80000 облигаций номиналом 1000 долл.). Срок погашения облигаций фирмы Debtco наступает через год, считая с сегодняшнего дня. Какова отдельно рыночная стоимость акций и облигаций фирмы Debtco, если общая рыночная стоимость этой фирмы составляет 100 млн долл.? Пусть V— текущая рыночная стоимость активов фирмы Debtco (100 миллионов долл.) Е — текущая рыночная стоимость акционерного капитала Debtco D — текущая рыночная стоимость заемного капитала (облигаций) Debtco Нам известно, что общая рыночная стоимость акционерного и заемного капитала этой фирмы равна 100 млн долл.:

V = D + Е = 100 млн долл.

Мы хотим получить отдельно значения Е и D.

Рассмотрим возможные доходы владельцев ценных бумаг при наступлении через год срока погашения облигаций. Доходные диаграммы приведены на рис. 15.7 и 15.8. Если стоимость активов фирмы превышает номинальную стоимость ее долговых обязательств (т.е. если f[ > 80 млн долл.), акционеры получают разность между этими двумя величинами (т.е. Fi—80 млн долл.). Однако в том случае, если стоимость активов окажется меньше 80 млн долл., компания не выполнит взятых долговых обязательств, а акционеры не получат ничего. Все активы фирмы достанутся держателям облигаций'⁸.

200 -

, s 160 -

I -t 120 -

»S

ё 80 - —————————————————

О 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 Стоимость фирмы через 1 год

Рис. 15.7. Доходная диаграмма для облигаций Debtco

Примечание. Если активы фирмы будут стоить меньше 80 млн долл., то держатели облигаций получат стоимость всех ее активов Если активы фирмы будут стоить больше 80 млн долл., то держатели облигаций получат только 80 млн долл.

" Такая ситуация наблюдается в том случае, если отсутствуют затраты на процедуру банкротства, а правила преимущественных выплат по обязательствам фирмы строго соблюдаются. В действительности же реализация процедуры банкротства требует определенных затрат.

Стоимость фирмы через год

Рис. 15.8 Доходная диаграмма для акций Debtco

Примечание Если активы фирмы будут стоить меньше 80 млн долл, то акционеры ничего не получат Если активы фирмы будут стоить больше 80 млн долл., то акционеры получат разность между стоимостью активов и 80 млн долл

Из рис. 15.7 видно, что, когда стоимость фирмы опускается ниже 80 млн долл., владельцы облигаций претендуют на все активы, а в случае, когда стоимость фирмы превышает 80 млн долл., владельцы облигаций получают только причитающиеся им 80 млн долл. Из рис. 15.8 следует, что если стоимость фирмы составляет меньше указанной суммы, то акционеры ничего не получают, а при стоимости фирмы, превышающей 80 млн долл., им достается разность между стоимостью фирмы и 80 млн долл.

Обратите внимание на тот факт, что доходная диаграмма для акционеров фирмы Debtco идентична доходной диаграмме для владельцев опционов " колл" если принять, что в основу опциона положены собственно активы фирмы, а цена исполнения равна номинальной стоимости долговых обязательств. Таким образом, мы можем применить для этого случая формулу 15 5, изменив соответствующим образом используемые в ней обозначения. Получаемая в результате формула, которую можно использовать для оценки стоимости акционерного капитала фирмы, имеет вид:

(15.6)

где

V— стоимость фирмы

Е— стоимость акционерного капитала фирмы

В — номинальная стоимость бескупонных дисконтных облигаций

г— безрисковая процентная ставка

f— промежуток времени до срока погашения облигаций в годах

а— стандартное отклонение непрерывно начисляемой ставки доходности активов

фирмы (в пересчете на год) In — натуральный логарифм

е — основание натурального логарифма (приблизительно 2, 71828) N(d) — вероятность того, что значение нормально распределенной переменной

меньше d

Стоимость облигаций, D, по определению равна V — Е. Непрерывно начисляемая обещанная процентная ставка по долговым обязательствам R равна, таким образом,

При применении уравнения 15 6 можно пользоваться теми же программами, что и для расчета стоимости опционов в соответствии с уравнением 15.5. При этом необходимо лишь иначе интерпретировать входные и выходные данные. Пусть безрисковая процентная ставка равна 8% годовых, а изменчивость стоимости активов фирмы составляет 0, 3. В этом случае вместо табл. 15.7 мы получаем таблицу 15.7а.

Стоимость заемного капитала равна V — Е:

D = 100 млн долл. - 28, 24 млн долл. = 71, 76 млн долл.

Таким образом, обещанная непрерывно начисляемая процентная ставка по долговым обязательствам R равна

R = In (80 / 71, 76) = 0, 1087 или 10, 87% годовых

В соответствии с полученными результатами и имея безрисковую процентную ставку в 8% годовых, потенциальным покупателям облигаций Debtco должна предлагаться доходность при погашении, равная 10, 87%.

Таблица 15.7а. Расчет акционерного капитала [

ку. ' •'S'& Sgf' 1

Рассмотрим теперь частный случай, при котором стоимость активов фирмы равна приведенной номинальной стоимости облигаций, оцененной с применением безрисковой процентной ставки. Имеем выражение

Приближенное значение для акционерного капитала корпорации в этом случае определяется как

Пусть V= 100, В-= 108, 33, о == 0, 3, Г= 1; воспользовавшись приближением, приходим к

Е =12 млн долл. При использовании точной формулы получаем