Дополнительные сферы приложения метода оценки стоимости опционов

Многие финансовые контракты содержат встроенные опционы.²⁰ В качестве примеров из области финансов домохозяйств можно привести право предоплаты, дающее возможность пересмотра выплачиваемого кредитору процента по займу в случае снижения процентных ставок в экономике, или же пример с арендой автомобилей, при которой клиент имеет право, но не обязан, приобрести автомобиль по окончании срока аренды по заранее определенной цене.

Следует сказать, что метод оценки стоимости опционов используется не только для анализа финансовых инструментов. Помимо последних, существует целый ряд так называемых реальных опционов (real options). Наиболее используемая область их при менения — инвестиционные решения фирм. Кроме того, анализ с помощью реальны опционов применяется в случае рассмотрения инвестиций в недвижимость принятия решений по вопросам развития компаний. Основной элемент использо ния оценки стоимости опционов здесь тот же, что и в случае рассмотренных вы

²⁰ Много ссылок по этому вопросу можно найти у R. С. Merton, " Applications of Option- Theory: Twenty-Five Years Later", American Economic Review (June 1998), pp. 323-349, на основе э работы и построен данный раздел.

примеров: неопределенность вариантов будущего развития. Если бы это было не так не возникло бы и необходимости в создании опционов, поскольку мы в каждый данный момент знали бы, что собираемся делать дальше. При наличии изменяющихся факторов внешнего окружения предприятия методика определения направлений деятельности при наступлении того или иного варианта развития событий имеет существенную ценность. Именно с этой точки зрения теория оценки стоимости опционов важна для руководства предприятия.

Основные виды опционов, которые используются в рамках решений, касающихся оценки стоимости инвестиционных проектов, — это опционы по поводу начала или расширения деятельности; опционы по поводу прекращения или заключения контракта; а также опционы по поводу ожидания, медленного снижения или ускорения развития. Существуют опционы по поводу роста, которые включают в качестве возможного выбора создание дополнительных мощностей, возможность создания новых товаров и даже новых коммерческих предприятий, но не налагают обязательств поступать таким образом в случае, если это оказывается экономически нецелесообразным.

Пример реальных опционов можно найти в области производства электроэнергии. Электростанцию можно построить с ориентацией на один вид топлива, такой, например, как нефть или природный газ, или же ее можно спроектировать таким образом, чтобы обеспечивалась возможность использования любого из них. Ценность такого опциона состоит в возможности использовать в каждый данный момент времени то топливо, которое можно приобрести по меньшей цене. Но для того, чтобы им воспользоваться, необходимо учитывать как более высокую стоимость строительства, так и менее эффективное преобразование энергии, чем в случае применения соответствующего специализированного оборудования.

Другой пример мы находим в индустрии развлечений, он связан с принятием решения о создании продолжения какого-либо фильма. Выбор создателей фильма состоит в следующем: либо запускать в производство и сам фильм, и продолжение одновременно, или же подождать и выпустить продолжение после того, как станет известно, имеет ли успех сам фильм. Не надо быть специалистом в кинематографии, чтобы догадаться, что, если пойти первым путем, затраты на создание продолжения окажутся меньшими. Несмотря на это, обычно выбирается вторая возможность, особенно в случае дорогостоящих фильмов.

С экономической точки зрения причина состоит в том, что второй путь дает возможность выбора (опцион) отказаться от выпуска продолжения (если, например, исходный фильм не имеет достаточного успеха). Если же продюсер практически уверен в том, что продолжение будет создаваться, то ценность ожидания более достоверной информации для принятия решения (стоимость опциона) оказывается незначительной, и затраты на производство в дальнейшем продолжения фильма могут оказаться большими, чем доход от него. Таким образом, мы снова видим, что элемент неопределенности оказывается критичным для принятия решений, а модель оценки стоимости опционов позволяет получить количественную оценку затрат и доходов от реализации возможных вариантов.

Принимаемое отдельным человеком решение о том, сколько следует уделить внимания обучению с отрывом от производства, можно сформулировать как оценку Стоимости опциона в вопросе о том, когда следует закончить подготовку к работе и приступить к ней. В классическом компромиссе между работой и свободным временем человек, имеющий возможность изменять количество рабочих часов и, следовательно, заработную плату, обладает существенно более ценным опционом по сравнению с работником, часы работы которого фиксированы. Заработная плата, социальное обеспечение и минимальный уровень в планировании пенсии, обеспечивающие 'минимальные выплаты по пособиям, имеют структуру, подобную опционам.

Медицинское страхование характеризуется большим разнообразием предлагаемых клиенту вариантов. Основной момент здесь состоит в том, соглашается ли он пользоваться услугами только заранее оговоренных врачей и больниц (по плану НМО\ оставляет за собой право выбирать больницу или врача, не входящих в эту сир-то"

ч, -, - - " " icmv.

При принятии решения, какой вид страхования выбрать, потребитель решает задач об оценке стоимости опциона применительно к ценности возможности выбора. Очень похожая структура оценки возникает в случае выбора (т.е. фактически наличия соответствующего опциона) между использованием вариантов с повременной и фиксированной оплатой при пользовании услугами кабельного телевидения.

Стоимость опциона может составлять существенную часть общей стоимости предоставляемых государством прав на ведение геологоразведочных работ нерезидентами и на использование квот на загрязнение окружающей среды. Метод анализа стоимости опциона обеспечивает количественную оценку принимаемых правительством решений по экономическим вопросам, например о том, строить ли дороги в регионах с малой плотностью населения, в свете того, не благоразумнее ли отказаться от развития сельских дорог, если они используются недостаточно интенсивно.

С применением модели оценки стоимости опционов рассматривались различные аспекты законодательного характера и налогообложения, затрагивающие вопросы политики и поведения людей в различных ситуациях. К ним относятся оценка возможностей (опциона), существующих для истца в судебном процессе. Так, например, применение законов о банкротстве, включая условия ограничения ответственности, или анализ нарушений налогового законодательства в вопросах, связанных с недвижимостью и другими видами собственности, предполагает выбор между отчуждением собственности и восстановлением в правах при выплате задолженности.

Теоретические положения, применяемые при оценке стоимости опционов, зарекомендовали себя в качестве полезного метода в анализе стратегических решений. Вначале их применение в этой сфере относилось к области энергетики, в которой не только необходимо долгосрочное планирование, но и требуются достаточно масштабные инвестиции, а неопределенность возможных вариантов высока. Поскольку энергетика служит основой развития любой экономической системы, такое использование теории ценообразования опционов применимо как для развитых, так и для развивающихся стран. В некоторых случаях модели, основанные на теории ценообразования опционов, могут стать стандартными инструментами в стратегическом планировании.

Резюме

• Опционы могут использоваться инвесторами для варьирования инвестиционных рисков. Комбинируя безрисковые ценные бумаги с опционами " колл" на акции и индексы, инвестор может выходить на гарантированный минимальный уровень доходности.

• Портфель ценных бумаг, состоящий из акций и европейских опционов " пут, эквивалентен комбинации из безрисковой облигации с номинальной стоимостью, равной цене исполнения опциона и европейского опциона " колл". Таким образом, в соответствии с законом единой цены, приходим к уравнению паритета опционов " пут" и " колл":

(15.1)

где S — курс акций, Р — цена опциона " пут", г - безрисковая процентная ставка, Т — промежуток времени до срока истечения опциона, а С — цена опциона " колл".

• На основе акций, лежащих в основе опциона, и безрисковых ценных бума можно сконструировать синтетический опцион. Для этого необходимо восполь зоваться стратегией динамического дублирования, обеспечивающей самофинансирование инвестиций после первоначального вложения. В соответствии с 1Л законом единой цены цена опциона определяется формулой

(15.5)

где

С— цена опциона " колл"

S — текущий курс подлежащих акций

Е — цена исполнения опциона

г — безрисковая процентная ставка (непрерывно начисляемая процентная ставка (в пересчете на год) для безрисковых ценных бумаг со сроком погашения, равным сроку истечения опциона)

Т— промежуток времени до срока истечения опциона в годах

а— риск подлежащей акции, измеряемый стандартным отклонением доходности акции, представленной как непрерывно начисляемый процент (в пересчете на год)

In — натуральный логарифм е — основание натурального логарифма (приблизительно 2, 71828)

N(d) — вероятность того, что значение нормально распределенной переменной меньше d

Методику, аналогичную методике оценки стоимости опционов, можно применить и в других случаях. Во-первых, для оценки стоимости условных требований, связанных с поступлением доходов от акций и облигаций. Во-вторых, для оценки кредитных гарантий. В третьих, для оценки стоимости реальных опционов, содержащихся в инвестиционных решениях в связи с проведением научно-исследовательских работ и выбором направлений развития технологий производства.

Основные термины

• условное требование (contingent claim), 469

• опцион " колл" (call), 470

• опцион " пут" (put), 470

• цена " страйк" (strike price), 470

• цена исполнения (exercise price), 470

• дата истечения (expiration date), 470

• американский опцион (American-type option), 470

• европейский опцион (European-type option), 470

• биржевые опционы (exchange-traded option), 471

• внебиржевые опционы (over-the-counter option), 471

• внутренняя стоимость (intrinsic value), 472

• реальная стоимость (tangible value), 472

• опцион с проигрышем (out of the money), 472

• опцион с выигрышем (in the money), 472

• опцион без выигрыша (at the money), 472

• временная стоимость, срочная премия (time value), 472

• опцион на индекс (index option), 472

• взаиморасчет в денежной форме (cash settlement), 473

• доходная диаграмма (payoff diagram), 474

• уравнение паритета опционов " пут" и " колл" (put-call parity relation), 479

• коэффициент хеджирования (hedge ratio), 483

• стратегия инвестиционного самофинансирования (self-financing investment), 485

• дерево решений (decision tree), 485

• биномиальная модель оценки стоимости опционов (binomial option-pricing model), 485

• модель ценообразования опционов Блэка-Шоулза (Black-Scholes model), 486

• подразумеваемая изменчивость (implied volatility), 489

Ответы на контрольные вопросы

Контрольный вопрос 15.1. Используя таблицу 15.1, рассчитайте внутреннюю и временную стоимость для июньских опционов " колл " на акции компании IBM с ценой исполнения 125 долл. Найдите соответствующие величины для опционов " пут ".

ОТВЕТ. Поскольку июньский опцион " колл" на акции IBM с ценой исполнения 125 долл. является в данный момент опционом с проигрышем, его внутренняя стоимость равна нулю, а временная стоимость равна его цене (1 1/2 долл.). Июньский опцион " п; т" на акции IBM с ценой исполнения 125 долл. имеет внутреннюю стоимость 4 15/16 долл. (= 125 - 120 1/16).

Контрольный вопрос 15.2. Представьте себе, что 5 июня 1998 года вы купили по цене, указанной в табл. 15.2, июньский опцион " колл" на SPX с ценой исполнения 1120. Чему будет равна ваша ставка доходности, если величина индекса на дату истечения, 19 июня 1998 года, окажется равной 1200?

ОТВЕТ.

Контрольный вопрос 15.3. Четвертая стратегия состоит в том, чтобы вложить 96000 долл. в безрисковые ценные бумаги и 4000 долл. в опционы. Какова минимальная гарантированная ставка доходности? Чему равен наклон прямой на доходной диаграмме справа от точки, соответствующей цене исполнения?

ОТВЕТ. При вложении 4000 долл. в опционы " колл" сроком на один год по иене 10 долл. можно купить 400 опционов. Получаемый денежный платеж по опционам будет равен 400х max (St-100, 0). Если опцион истекает без использования, вы получите 100800 долл. от своих вложений в безрисковые ценные бумаги. Это соответствует ставке доходности в 0, 8% годовых для вложенных 100000 долл. Наклон идущей вверх части графика на доходной диаграмме равен 0, 004. Выражение для обшей доходности вашего портфеля ценных бумаг имеет вид

	Стоимость на конец года - Стоимость на	начало года
Доходность портфеля Стоимость на начало года

4% инвестиций в опционы " колл"

Курс акций на дату истечения

Доходная диаграмма для различных инвестиционных стратегий на фондовом рынке

Контрольный вопрос 15.4. Покажите, как можно создать синтетическую акцию с помощью опциона " пут", опциона " колл" и бескупонной облигации номинальной стоимостью Е.

ОТВЕТ. Переписав уравнение 15.1 так, чтобы текущая цена акции стояла в левой части, получаем:

Это означает, что синтетическую акцию можно создать, приобретя беспроцентную облигацию номинальной стоимостью Е, купив опцион " колл" и продав опцион " пут" на подлежащие акции.

г

Структура платежей для синтетической акции: бескупонная облигация плюс опцион " колл" минус опцион " пут"

Контрольный вопрос 15.5. Предположим что при данном уровне изменчивости курса акций S = 100 долл., Е = 100 долл., Т = 1 год, г = 0, 08 и Р = Ю долл. Далее предположим, то изменчивость курса растет и цена опциона " колл " достигает 20 долл. Какой должна быть новая цена опциона " пут", если S, Е, Т, и г не меняются?

ОТВЕТ. Стоимость опциона " пут" должна возрасти на такую же величину, как и стоимость опциона " колл", в данном случае это составляет 2, 59 долл. Таким образом стоимость опциона " пут" составит 12, 59 долл.

Контрольный вопрос 15.6. Предположим, что изменчивость курса акций, лежащих в основе опциона, выше, чем в рассмотренном выше примере. Курс акций может в течение года повыситься или упасть на 30%. Примените двухступенчатую модель для определения цены опциона.

ОТВЕТ.

Разность цен акций

_ 30 долл. - 0 _ „ -130 долл. - 70 долл.

Сумма, которая берется взаймы, представляет собой максимальную сумму, которая может быть гарантированно выплачена с процентами на момент наступления срока истечения опциона. Поскольку в данном примере худший возможный результат соответствует стоимости половины пакета акций, т.е. 35 долл., то ее необходимо дисконтировать по безрисковой процентной ставке 5%. В результате получаем 33, 33 долл.

Цена опциона " колл" равна затратам на формирование дублирующего портфеля, которые определяются как произведение коэффициента хеджирования на текущую цену акций за вычетом взятой в долг суммы. В соответствии с законом единой цены это и есть цена опциона " колл":

С =0, 5-33, 33 долл. = 50 долл. - 33, 33 долл. =16, 67 долл.

Контрольный вопрос 15.7. Предположим, что изменчивость курса акций, лежащих в основе опциона, равна не 0, 2, как в рассмотренном выше примере, а 0, 3. Чему равна приблизительная цена опциона " колл "?

ОТВЕТ: С-0, 4 х 0, 3 х 100 долл. = 12 долл.

Контрольный вопрос 15.8. Какой была бы доходность при погашении облигаций Debtco в рассмотренном выше частном случае?

ОТВЕТ. Приняв в качестве приближенной оценки акционерного капитала 12 млн долл., получаем

D •= 100 млн долл. -12 млн долл. =88 млн долл. Поэтому непрерывно начисляемая по облигациям процентная ставка R равна

R = In (108, 33/88)= 0, 2078, или 20, 78% годовых.

Вопросы и задания

Доходные диаграммы.

1. Постройте доходную диаграмму для европейского опциона " пут" с ценой исполнения Е, выписанного на акции, текущий курс которых ра вен S, если

Шаблон

а. Вы занимаете длинную позицию (т.е. приобретаете опцион " пут)• Ь. Вы занимаете короткую позицию (т.е. продаете опцион " пут")-

15.9-15.11

2. Постройте доходную диаграмму для портфеля ценных бумаг, в который входят один европейский опцион " колл" и один европейский опцион " пут" с одинаковыми сроками истечения и одинаковой ценой исполнения Е, если оба эти опциона выписаны на акции, курс которых равен S.

Инвестирование с применением опционов

3. Годовая безрисковая процентная ставка составляет 4%, а фондовый индекс Globalex равен 100. Цена опциона " колл" на индекс Globalex со сроком истечения через один год и ценой исполнения 104 составляет 8% от текущего значения данного индекса. Предположим, что ожидаемая дивидендная доходность акций, входящих в расчет индекса Globalex, равна нулю. У вас есть 1 млн долл., предназначенный для инвестиций на следующий год. Вы собираетесь вложить определенную часть денег в годичные казначейские векселя для того, чтобы, по крайней мере, вернуть первоначальный 1 млн долл., а остальные деньги намерены использовать для покупки опционов " колл" на индекс Globalex.

а. Постройте доходную диаграмму для своих инвестиций исходя из того, что определенную сумму вы вкладываете в опционы на индекс Globalex. Откладывайте значения индекса Globalex по горизонтали, а доходность портфеля ценных бумаг — по вертикали. Чему равен наклон графика доходной диаграммы справа от значения индекса, составляющего 104 процента?

Ь. Предположим, вы считаете, что с вероятностью 0, 5 индекс Globalex повысится через год на 12%, с вероятностью 0, 25 он вырастет на 40%, а с вероятностью 0, 25 снизится на 20%. Каково распределение вероятности для доходности вашего портфеля ценных бумаг?

Уравнение паритета между опционами " пут" и " колл"

4.

а. Покажите, как можно продублировать годичную бескупонную облигацию номинальной стоимостью 100 долл. с помощью акций, опциона " пут" и опциона " колл".

Ь. Предположим, что S = 100 долл., Р = 10 долл. и С = 15 долл. Чему должна быть равна годовая безрисковая процентная ставка?

с. Покажите, что в случае, если годовая безрисковая процентная ставка меньше, чем значение, найденное вами в качестве ответа на вопрос (Ь), должна существовать возможность арбитража. (Подсказка. Цена годичной бескупонной облигации окажется завышенной.)

5. Европейский опцион " колл" сроком на 90 дней на акции Toshiro Corporation в настоящее время продается по цене 2000 иен, в то время, как текущая цена самих акций составляет 2400 иен. Выпускаемые правительством Японии девяностодневные бескупонные облигации продаются по цене 9855 иен при номинальной стоимости 10000 иен. Определите цену европейского опциона " пут" по этим акциям сроком на 90 дней, если и опцион " колл", и опцион " пут" имеют одинаковую цену исполнения в 500 иен.

6. Финансовый магнат Гордон Гекко сформировал портфель ценных бумаг, состоящий из десяти 90-дневных казначейских векселей США, каждый номинальной стоимостью 1000 долл., текущая цена каждого векселя 990, 10 долл., и 200 опционов " колл", сроком на 90 дней, каждый из которых выписан на акции Paramount и имеет цену исполнения 50, 00 долл. Гекко предлагает вам обменять этот портфель на 300 акций Paramount, оцениваемых на данный момент в 215, 00 долл. за акцию. Предположим, что 90-дневные европейские опционы " пут" на акции Paramount с ценой исполнения 50, 00 долл. оцениваются в настоящее время в 25, 00 долл.

а. Определите цену содержащихся в портфеле Гекко опционов " колл". Ь. Согласились бы вы принять предложение Гекко, или нет?

7. Акции Kaukonen, Ltd., занимающейся поставками тунца, в настоящее время оцениваются в 500, 00 долл., в то время как годичные европейские опционы " колл" на эти акции с ценой исполнения 200, 00 долл., продаются по 400, 00 долл., а европейские опционы " пут" с тем же сроком истечения и ценой исполнения продаются по 84, 57 долл.

а. Определите доходность продаваемой сегодня годичной бескупонной казначейской облигации США.

Ь. Если эта доходность окажется на уровне 9%, предложите схему прибыльных сделок для использования возможности арбитража.

Двухступенчатая модель оценки стоимости опционов

8. Примените двухступенчатую модель оценки стоимости опционов к выводу формулы для определения цены опциона " пут".

9. Текущий курс акций расположенного в Новом Орлеане издательства Drummond, Griffin and McNabb составляет 100, 00 долл., однако через 90 дней ожидается повышение курса до 150, 00 долл. или снижение до 50, 00 долл., в зависимости от реакции критиков на изданную ими биографию Эзры Понд. Можете ли вы определить цену европейского опциона " колл", выписанного на акции DGM с ценой исполнения 85, 00 долл. Исходите из того, что безрисковая процентная ставка в течение следующих 90 дней составит 0, 01.

Модель Блэка-Шоулза

10.

а. Используйте модель Блэка-Шоулза для определения цены европейского опциона " колл", выписанного сроком на три месяца на акции без выплаты дивидендов, текущая цена которых составляет 50 долл. Предположите, что цена исполнения равна 51 долл., непрерывно начисляемая безрисковая процентная ставка составляет 8% годовых, а о равно 0, 4.

Ь. Каков состав дублирующего портфеля для этого опциона " колл"? с. Примените уравнение паритета опционов " пут" и " колл" к выводу формулы Блэка—Шоулза для цены соответствующего опциона " пут".

11. Представьте себе, что вы работаете финансовым аналитиком в сингапурской инвестиционной компании Yew and Associates и к вам обратился клиент с вопросом, следует ли ему купить европейские опционы " колл" на акции Rattan, Ltd., продающиеся в настоящее время по цене 30, 00 долл. США. Цена исполнения этих опционов равна 50, 00 долл. Курс акций Rattan в настоящее время составляет 55, 00 долл., а риск этих акций, измеряемый дисперсией, составляет 0, 04. Что вы посоветуете клиенту, если дата истечения для этих опционов наступает через 25 дней, а безрисковая процентная ставка для этого периода составляет 5%? Оценка ценных бумаг корпорации с применением двухступенчатой модели

12. Фирма Lorre and Greenstreet, Inc., поставщик античных статуй, имеет в настоя шее время акционерный капитал, оцениваемый в 100000 долл., и должна в платить через 90 дней 10000 долл. номинальной стоимости проданных части лицам бескупонных облигаций. К этому времени ожидается ознакомление ш рокой публики с результатами независимой экспертизы нового поступлен Мальты, причем ожидается рост стоимости активов до 170000 долл. в случае, если эта статуя будет признана подлинной, но вместе с тем возможно и уменьшение всего лишь до 45000 долл., если ее объявят подделкой. В последнем случае фирма будет объявлена банкротом и акционеры будут вынуждены уступить право на активы фирмы держателям облигаций.

а. Можете ли вы выразить текущую совокупную стоимость акционерного капитала фирмы Lorre and Greenstreet в виде зависимости от стоимости активов фирмы и номинальной стоимости непогашенных облигаций?

Ь. Существует ли связь между полученным вами выражением для стоимости акционерного капитала и стоимостью 90-дневного европейского опциона " колл" на совокупные активы фирмы?

с. Можете ли вы выразить текущую совокупную стоимость выпущенных фирмой Lorre and Greenstreet облигаций через стоимость активов фирмы и номинальную стоимость непогашенных облигаций?

d. Существует ли связь между текущей стоимостью выпущенных этой фирмой облигаций, текущим значением стоимости безрисковых облигаций с такими же сроком погашения и номинальной стоимостью и европейским опционом " пут", выписанным на совокупные активы фирмы? Как можно было бы использовать такую связь для того, чтобы выразить стоимость рискованных облигаций через безрисковые облигации и стоимость дополнительных гарантий фирмы?

13. Специализирующееся на заказе билетов агентство Gephardt, Armey and Gore эмитировало на этой неделе 80 облигаций номинальной стоимостью 1000 долл. каждая со сроком погашения один год. Финансовые аналитики утверждают, что через год стоимость активов GAG будет составлять 160000 долл., если Руперт Мердок сумеет приобрести Washington Press Club и начнет ставить в нем комедии, 130000 долл., если Мердок приобретет этот клуб, но сохранит существующий репертуар, и 20000 долл. в том случае, если Мердок построит другой театр комедии в Вашингтоне. Работающие в этой области аналитики также предсказывают, что активы второй аналогичной фирмы, Yeltsin Yuks, Ltd., будут в соответствии с выполнением приведенных выше условий равняться 100000 долл., 100000 долл. или 40000 долл. Предположим, что инвесторы могут приобретать портфели ценных бумаг, включающие акции агентства GAG и фирмы YY Ltd., а также покупать или продавать коротко годичные бескупонные государственные облигации с безрисковой процентной ставкой 0, 10 годовых.

а. Укажите три разных величины стоимости совокупного акционерного капитала агентства GAG, которые будут наблюдаться через год для трех указанных выше возможных случаев.

Ь. Скомпонуйте портфель, денежные платежи по которому в точности совпадут с платежами, даваемыми портфелем, полностью состоящим только из акций агентства GAG.

с. Определите текущую рыночную стоимость акций агентства GAG исходя из того, что в обращение выпущено 10000 акций, текущая рыночная стоимость активов агентства GAG составляет 120000 долл., а текущая рыночная стоимость активов фирмы YY Ltd. равна 85725 долл.

d. Определите при этих же условиях текущую рыночную стоимость выпущенной агентством GA G облигации исходя из того, что выпущено 80 облигаций. Какой будет доходность при погашении для таких облигаций?