Плоскорадиальный фильтрационный поток. Радиально- сферический фильтрационный поток

Радиально- сферический фильтрационный поток

Фильтрационный поток называется радиально - сферическим, когда прямолинейные пространственные траектории частиц жидкости являются радиально сходящимися в центре одной сферы.

Примером радиально - сферического фильтрационного потока является приток жидкости к скважине, вскрывающей однородный пласт неограниченной толщины у его непроницаемой кровли через полусферический забой, радиус которого равен радиусу скважины (рис.15).

Рис.15

Рис.16

В этом случае давление и скорость фильтрации в любой точке фильтрационного потока будут функцией только расстояния r этой точки от центра забоя скважины; следовательно, этот вид фильтрационного потока также является одномерным.

Пусть начальное приведенное давление в пласте и на забое скважины равно Р_к. Затем на забое давление снизилось до значения Р_с = const. Приведенное давление на достаточно удаленной полусферической границе радиуса R_k сохраняется постоянным и равным R_k. В пласте будет иметь место установившийся радиально- сферический фильтрационный поток, описываемый дифференциальным уравнением (3.3).

Для упрощения исследования уравнение Лапласса (3.3) представим в сферических координатах, имея в виду, что Р = Р(r). Для этого рассмотрим трубку тока с телесным углом j и площадью фильтрационной поверхности w(S) = jr² (рис.16). Используя равенства: S = R_k - r; dS = -dr и закон Дарси, получаем

;

поэтому ,

откуда имеем:

. (3.32)

Уравнение (3.32) записываем в развернутом виде

. (3.33)

Уравнение (3.33) и есть дифференциальное уравнение Лапласса для радиально- сферического фильтрационного потока.

Дважды последовательно интегрируя уравнение (3.32), находим его общее решение

. (3.34)

Постоянные интегрирования С₁ и С₂ находим по граничным условиям:

при r =r_c P = P_c = const;

при r = R _к P = P_k = const. (3.35)

Имеем:

;

. (3.36)

Тогда распределение давления Р=Р(r)получаем из общего решения (3.34) с учетом (3.36)

. (3.37)

Как видно из (3.37) имеем гиперболический закон распределения приведенного давления Р = Р(r); уравнениями семейства равного приведенного давления (равного напора) являются концентрические полусферы (r = сonst).

Градиент приведенного давления определяем из выражения (3.34) на основании (3.36)

. (3.38)

Используя (3.38), находим выражение для дебита добывающей скважины радиусом r_c.

Q= ,

то есть . (3.39)

Как видно из (3.39) зависимость Q = Q(DP_c) линейная, как и в случае плоскорадиального потока.

Находим выражение скорости фильтрации на расстоянии r от забоя скважины

, (3.40)

то есть скорость фильтрации V и градиент давления dP/dr в любой точке пласта обратно пропорциональны квадрату расстояния r этой точки до забоя скважины, поэтому график функции dP/dr от r будет более крутым в сравнении с плоскорадиальным потоком.

Аналогичным образом находим закон движения частиц жидкости по траектории.

;

или .

Интегрируя в пределах (0 ¸ t) и (R₀ ¸ r), получаем:

. (3.41)

Плоскорадиальный фильтрационный поток

несжимаемой жидкости при нелинейных законах фильтрации

Рассмотрим плоскорадиальный фильтрационный поток несжимаемой жидкости при больших скоростях, когда становятся значительными инерционные составляющие гидравлического сопротивления и линейный закон Дарси нарушается. Для учета инерционных эффектов будем пользоваться степенной (1.25) и двучленной (1.22) зависимостями скорости фильтрации от градиента давления.

Степенной закон фильтрации в условиях плоскорадиального движения имеет вид

; . (3.42)

Для определения дебита скважины разделим переменные в (3.42) и проинтегрируем

;

;

,

откуда . (3.43)

Распределение давления в пласте также определим из уравнения (3.42), проинтегрировав в других пределах:

; ,

или с учетом (3.43)

. (3.44)

Градиент давления находим по формулам (3.42) и (3.43)

. (3.45)

Скорость фильтрации определим из (3.42) с учетом (3.45).

. (3.46)

На основании полученных решений (3.43)-(3.46) для значений 1 < n < 2, находим фильтрационные характеристики потока для предельного случая n = 2, т.е. для случая закона Краснопольского(1.24):

. (3.47)

Пренебрегая в полученном равенстве величиной , получим

; (3.48) , (3.49)

что совпадает с законом распределения давления Р(r) при радиально-сферическом потоке (3.37) по линейному закону фильтрации.

, (3.50)

что также совпадает с аналогичной формулой для радиально- сферического потока при линейном законе фильтрации (3.38).

. (3.51)

Проанализируем полученные формулы.

Как видно из формулы (3.43) для дебита скважины, индикаторная линия Q = Q(DP_c) при 1 < n < 2 имеет вид выпуклой (к оси дебитов) степенной кривой с дробным показателем степени n < 2 (рис 17). В случае закона Краснопольского, как видно из формулы (3.48), индикаторная линия является параболой второго порядка, а при линейном законе фильтрации (n = 1) - прямая линия.

Рис.17

Кривая распределения давления Р (r) при нелинейном законе фильтрации (3.49) имеет формулу гиперболы, следовательно, воронка депрессии будет гиперболоидом вращения; крутизна воронки депрессии у стенки скважины будет больше, чем у логарифмической кривой (3.24) при линейном законе фильтрации.

Изменение скорости фильтрации вдоль линии тока V (r) подчиняется гиперболическому закону, как при нелинейной фильтрации (3.51), так и при линейной (3.26).

Следует отметить, что в реальных условиях нельзя считать, что во всем пласте - от контура питания до стенки скважины - справедлив единый нелинейный закон фильтрации с постоянным значением показателя степени n. Нарушение линейного закона фильтрации начинается прежде всего вблизи забоя скважины, в то время как в остальной части фильтрационного потока может сохраняться закон Дарси. По мере увеличения дебита скважины область с нелинейной фильтрацией будет расширяться. Поэтому в этих случаях необходимо пользоваться двучленной формулой (законом) фильтрации (1.22), которая для плоскорадиального потока имеет вид

, (3.52)

где .

Выражая скорость фильтрации через дебит

,

перепишем (3.52) в виде

,

откуда, разделяя переменные, получим

.

Интегрируя последнее уравнение в пределах от r до R_k, от P до P_k и от r_c до R_к, от P_c до Р_к, находим соответственно:

; (3.53)

. (3.54)

Из (3.54) дебит Q находится как положительный корень квадратного уравнения, из которого видно, что индикаторная линия Q = Q (DР_с) в этом случае является параболой.

По предложению Е.М.Минского уравнение (3.54) удобно представить в виде

, (3.55)

где . (3.56)

Тогда индикаторная диаграмма представляется прямой линией в координатах (рис.18).

Рис.18

Построив промысловым методом индикаторную диаграмму (рис.18), находим параметры А = ОМ и В = tg j для последующего нахождения фильтрационных характеристик продуктивного пласта из выражений (3.56).