![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Единственности решения
Рассмотрим уравнение где
Задача. Найти функцию из класса удовлетворяющую граничным условиям где Введем также обозначения Лемма 1. Если При любом Доказательство. Известно, что решение задачи Дарбу имеет вид где Из формулы (5) вычислим Используя (6), преобразуем интеграл Заменим функцию Бесселя Тогда выражение для интеграла где Таким образом лемма 1 доказана. Лемма 2. Если то для любого регулярного в области Доказательство. Пусть существует конечный предел Тогда, переходя в уравнении (1) при причем Из (9) Интегрируя первый интеграл по частям получим Таким образом, мы получим, что Это и подтверждает справедливость леммы 2. Теорема 1. Пусть Тогда Доказательство. Заметим, что из равенства (10) в силу лемм 1 и 2 при В области Действительно, левая часть
Пользуясь формулой Остроградского проинтегрируем (11) по области или
Откуда или Рассмотрим Так как по условию теоремы 1 Таким образом, получаем следующее соотношение так как откуда следует, что В области Следовательно, Пусть теперь Введем новую неизвестную функцию или
Откуда Подставив в уравнение (1) и сократив на Лемма 3. Если Справедливость неравенства (14) устанавливается в Теорема 2. Пусть Тогда Доказательство. В области Проинтегрируем (17) по Если в (15) подставить Отсюда Отсюда или Так как Далее в однородном случае краевое условие примет вид Полагая в (18), будем иметь или Итак, Согласно лемме 3 Тогда (19) можно записать Для непрерывной со своими первыми производными на замкнутом интервале где Из неравенства Фридриха имеем и или Тогда, если т.е. то сумма двух неотрицательных слагаемых равняется нулю, это возможно только в случае, когда каждое из них равняется нулю, заключаем, что Далее рассмотрим единственность решения задачи для уравнения (1) при Пусть Тогда переходя к пределу в уравнении (1) при Функциональное соотношение между Исключая Характеристическое уравнение, соответствующее однородному уравнению имеет вид Введем обозначение Аналогично, для кубического корня Рассмотрим три возможных случая Пусть Обозначим тогда корни уравнения (27) запишутся в виде где Пусть В рассматриваемом случае все три решения уравнения (26) вещественны, различны и имеют вид Если Решение задачи (26), (25) имеет вид где где На основании (28)-(30) заключаем, что Тогда отсюда, как показано выше, вытекает, что
§2. Доказательство существования решения задачи 1 Пусть Проинтегрируем (9) от 0 до
Перепишем (9) в виде Тогда Откуда Поменяв порядок интегрирования будем иметь или Откуда или
Таким образом, получаем функциональное соотношение между где Если предварительно считать правую часть уравнения (31) известной и равно й Обращая интегральное уравнение (32) получаем
где Учитывая значение или где чтобы получить функциональное соотношение между где Требуя, чтобы функция, определяемая соотношением (36) удовлетворяла граничному условию (3), получаем для где Считая по формуле (37) где При получении формула (38) использовано тождество [7] Перепишем равенство (31) с учетом значения С учетом последнего (34) будем иметь вид где Исключая где Поскольку резольвента Дифференцируя уравнение (43) по переменной (44) где В уравнении (44) функцию где Заменяя теперь где Из формулы (47) вытекает, что ядро интегрального уравнения (46) Так как эквивалентность всюду сохраняется, то из единственности решения задачи следует существования решения уравнения (46). После нахождения функции Решение этой задачи удовлетворяет интегральному уравнению где где
где где Основные свойства функций К интегральному уравнению (48) применима теория Фредгольтма. Оно всегда разрешимо, так как соответствующее однородное уравнение имеет только тривиальное решение, что следует из теоремы 1 о единственности решения задачи 1. Доказательство существования решения задачи 1, когда Пусть теперь где Если где Аналогичным образом находится функция или Таким образом, после того, как функция Эта задача снова эквивалентна редуцируется к интегральному уравнению Фредгольма второго рода (48), которая в силу единственности решение задачи однозначно разрешима.
|