Производная и монотонность функции

Лекция. Приложения производной к исследованию функций

Применение производной для нахождения промежутков монотонности, точек экстремума, наибольшего и наименьшего значений позволяют учащимся понять ценность производной как средства исследования функции.

Производная и монотонность функции

Рассмотрим графики функций. Что можно сказать о производных этих функций в области их определения? (На доске провести касательные)

Теорема 1. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство (причём равенство выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция возрастает на промежутке Х.

Аналогично формулируется теорема 2. Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство (причём равенство выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция убывает на промежутке Х.

Сразу обратим внимание на то, что теорема сформулирована для функций, непрерывных на промежутке Х (что следует из их дифференцируемости).

В учебниках А.Г. Мордковича доказательство этих теорем не приводится. В учебнике А.Н. Колмогорова авторы не отказываются от доказательства. Оно основано на формуле Лагранжа, смысл которой разъясняется, исходя из графических представлений.

Пусть А и В – точки графика непрерывной функции с абсциссами а и b соответственно. Определим угловой коэффициент прямой АВ.

Проведём касательную, параллельную АВ. с – абсцисса точки касания.

Угловой коэффициент касательной равен Таким образом,

Теперь обратимся к доказательству теоремы.

Дано: функция у = f (x), при х Î Х. (В учебнике Колмогорова неравенство строгое)

Доказать: функция возрастает на Х.

Доказательство

Рассмотрим два значения х ₁ и х ₂, принадлежащие промежутку Х, причём

х ₁ < х ₁. сравним f (x ₁) и f (x ₂). По формуле Лагранжа

х ₁ - х ₂< 0, , так как с Î Х, следовательно, f (x ₁) - f (x ₂)< 0, f (x ₁) < f (x ₂), то есть меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции: по определению функция f возрастает на Х.

Аналогично доказывается теорема об убывании функции.

Наконец, задумаемся о монотонности функции на закрытом промежутке. Пусть Х = [ a, b ]. Обратимся к рисункам 5, 6.

Можно ли утверждать, что функция у = f (x) возрастает на [ a, b ] на рис. 5, на рис 6? Какому условию должна удовлетворять данная функция, чтобы можно было заменить открытый промежуток на закрытый?

Ответ: она должна быть непрерывной на концах этого промежутка.

Рассмотрим функцию

Можно ли утверждать, что она возрастает на промежутке [0; +¥)?

Ответ: нет, так как данная функция не является непрерывной (в школьном понимании) в точке 0.

И ещё одна тонкость, связанная с монотонностью функции. Можно ли утверждать, что функция убывает при

Очевидно, что данная функция убывает. Объединение промежутков даёт право взять значения х ₁ и х ₂ в каждом из них. Тогда х ₁ < х ₂ и у ₁ < у ₂: функция возрастает. Правильно: данная функция убывает на каждом из промежутков