Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Необходимое условие экстремума
|
|
Мордкович: если функция y=f (x)в точке х 0 , то в этой точке производная функции равна нулю либо не существует. Теорема не доказывается.
Колмогоров: если точка х 0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная, то она равна нулю. (Теорема Ферма).
Дано: функция y=f (x), х 0 – точка экстремума.
Доказать: f¢ (x) = 0.
Доказательство
Метод: от противного. Пусть 
Рассмотрим один из противных случаев: f ¢ (x)> 0. 
. Для значений х достаточно близких к х 0 дробь 
.
Тогда, если x > x 0, то 
; если x < x 0, то 
, следовательно, x 0 – не является точкой экстремума, что противоречит условию.
Необходимое условие экстремума функции не является достаточным (неверна обратная теорема).
Пример. Функция 
, однако, 0 не является точкой экстремума (см. рис.2).
Достаточное условие экстремума.
Теорема (Мордкович):
Пусть функция y = f (x) непрерывна на промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку х = х 0. Тогда:
1) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при 
выполняется неравенство f¢ (x) < 0, а при 
выполняется неравенство
f¢ (x) > 0, то х 0 – точка минимума функции y = f (x);
2) если у этой точки существует такая окрестность, в которой при выполняется неравенство f¢ (x) > 0, а при х 0 выполняется неравенство
f¢ (x) < 0, то х 0 – точка максимума функции y = f (x);
3) если у этой точки существует такая окрестность, что в ней слева и справа от точки х 0 знаки производной одинаковы, то в точке х 0 экстремума нет.
Истинность этих утверждений становится понятной в связи с монотонность данной функции в окрестности точки х 0.
Учащихся следует убедить в важности условия непрерывности функции в точке х 0.
На рис. 12 точка – 1 не является точкой минимума, а точка 2 – точкой максимума. Если бы вырезать чёрные точки да заклеить ими белые, то функции стали бы непрерывными в точках – 1 и 2, тогда бы эти точки были точками экстремума.
Полезно предложить учащимся алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы.
1. Найти производную функции.
2. Найти стационарные и критические точки.
3. Исследовать знак производной в окрестности этих точек.
4. Сделать выводы.
Пример. Исследовать функцию 
на монотонность и экстремумы.
1. 
2. 
| х | (-¥; -2) | -2 | (-2; 2) | (2; +¥) | |
| f¢ (x) | - | + | - | ||
| f (x) | ↓ | min | ↑ | max | ↓ |
| -11 |
3.
4. 
- точка минимума, 
,
- точка максимума, 
.
Функция убывает на каждом из промежутков (-¥; -2), (2; +¥), функция возрастает при х Î (-2; 2).
Чертежи к лекции
