Свойства бесконечно малых функций

Бесконечно малые функции

Функция f (x) называется бесконечно малой функцией в точке х = х ₀, если

Аналогично определяются бесконечно малые функции при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x ₀ – 0, x → x ₀ + 0.
Можно дать равносильное определение бесконечно малой функции «на языке ε – δ: функция f (x) называется бесконечно малой в точке х = х ₀, если для любого как угодно малого ε > 0 существует δ = δ (ε) > 0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х – x ₀ | < δ, выполняется неравенство | f (x) | < ε. Или в символьном виде

( ε > 0) ( δ = δ (ε) > 0)( 0 < | х – х ₀| < δ): | f (x) | < ε.

Имеет место следующая теорема: функция f (x) в окрестности точки х ₀ отличается от своего предельного значения A на бесконечно малую функцию.
Доказательство. Пусть

Рассмотрим разность f (x) – А = α (х). Так как

,

то функция α (х) является бесконечно малой при x → х ₀.

Свойства бесконечно малых функций

Опираясь на правила вычисления пределов, можно сформулировать свойства бесконечно малых: алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x ₀, а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при x → x ₀:

1.
2.
3.
4.

Все сказанное о бесконечно малых функциях при x → x ₀ справедливо и для бесконечно малых функций при x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x ₀ – 0, x → x ₀ + 0.